[论文解读] Outlier Detection for DNA Fragment Assembly

Christina Boucher, Christine Lo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文引入了带异常值的共识串问题以建模DNA片段组装中的错误校正，其中必须检测并排除高度错误的测序读段（异常值）。论文提出了一个PTAS和一个参数化于目标值的FPT算法，证明该问题存在PTAS，但除非FPT=W[1]，否则不存在EPTAS，使其成为首个具有此类复杂度特征的问题。

ABSTRACT

Given $n$ length-$\ell$ strings $S =\{s_1, ..., s_n\}$ over a constant size alphabet $Σ$ together with parameters $d$ and $k$, the objective in the {\em Consensus String with Outliers} problem is to find a subset $S^*$ of $S$ of size $n-k$ and a string $s$ such that $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s) \leq d$. Here $d(x, y)$ denotes the Hamming distance between the two strings $x$ and $y$. We prove 1. a variant of {\em Consensus String with Outliers} where the number of outliers $k$ is fixed and the objective is to minimize the total distance $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s)$ admits a simple PTAS. (ii) Under the natural assumption that the number of outliers $k$ is small, the PTAS for the distance minimization version of {\em Consensus String with Outliers} performs well. In particular, as long as $k\leq cn$ for a fixed constant $c < 1$, the algorithm provides a $(1+ε)$-approximate solution in time $f(1/ε)(n\ell)^{O(1)}$ and thus, is an EPTAS. 2. In order to improve the PTAS for {\em Consensus String with Outliers} to an EPTAS, the assumption that $k$ is small is necessary. Specifically, when $k$ is allowed to be arbitrary the {\em Consensus String with Outliers} problem does not admit an EPTAS unless FPT=W[1]. This hardness result holds even for binary alphabets. 3. The decision version of {\em Consensus String with Outliers} is fixed parameter tractable when parameterized by $\frac{d}{n-k}$. and thus, also when parameterized by just $d$. To the best of our knowledge, {\em Consensus String with Outliers} is the first problem that admits a PTAS, and is fixed parameter tractable when parameterized by the value of the objective function but does not admit an EPTAS under plausible complexity assumptions.

研究动机与目标

• 为解决经典错误校正模型在基因组测序中无法处理高度错误读段（异常值）的局限性。
• 形式化一个新问题——带异常值的共识串，明确考虑少量异常读段显著偏离共识的情况。
• 在各种参数化下分析该问题的可近似性与参数化复杂度。
• 建立关于高效近似方案存在性的紧致理论边界，特别是针对EPTAS。

提出的方法

• 将带异常值的共识串问题形式化为：寻找一个共识串及一个由$ n-k $个非异常值串组成的子集，使它们到共识串的总汉明距离最小。
• 当$ k $固定时，针对距离最小化变体开发PTAS，结合超图枚举与分数覆盖数界。
• 应用参数化归约与保间隙归约，证明该问题除非FPT=W[1]，否则不存在EPTAS，即使在二元字母表下亦成立。
• 采用基于超图的方法识别共识偏差可能发生的候选位置，利用有界分数覆盖数。
• 对在最多$ heta $个位置上不同于候选共识串的字符串进行动态搜索，利用子超图检测来剪枝搜索空间。
• 通过新颖的算法框架，证明当参数化为$ d/(n-k) $（即总距离与非异常值数量的比值）时，问题具有固定参数可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过显式检测并移除扭曲共识形成的高度错误读段（异常值），能否改进DNA片段组装中的错误校正？
• RQ2 带异常值的共识串问题是否具有多项式时间近似方案（PTAS），其参数依赖关系如何？
• RQ3 当参数化为目标函数值$ d/(n-k) $时，该问题是否具有固定参数可解性，其复杂度含义是什么？
• RQ4 PTAS能否升级为EPTAS，此类改进的障碍是什么？
• RQ5 该问题的可近似性与参数化复杂度之间有何关系，特别是在FPT=W[1]等合理复杂度假设下？

主要发现

• 当$ k $固定时，带异常值的共识串问题在距离最小化变体下存在PTAS，时间复杂度为$ f(1/ heta)(n heta)^{O(1)} $，且该方案可适配至带硬距离边界的大小最大化变体。
• 当$ k < cn $（$ c $为小于1的常数）时，PTAS升级为EPTAS，时间复杂度为$ f(1/ heta)(n heta)^{O(1)} $，表明在异常值稀疏假设下性能强劲。
• 该问题除非FPT=W[1]，否则不存在EPTAS，即使在二元字母表下亦成立，确立了紧致的复杂度边界。
• 当参数化为$ d/(n-k) $时，该问题的判定版本具有固定参数可解性，因此当参数化为$ d $时也具有固定参数可解性，因为该比值有界。
• 该问题是目前已知首个在参数化于目标函数值时既存在PTAS又为FPT，但又在标准复杂度假设下不存EPTAS的问题。
• 该难题结果通过新颖方式结合参数化归约与保间隙归约，为串论中的复杂度分析提供了新方法。