[论文解读] Output Feedback Controller Synthesis for Negative Imaginary Systems

James Dannatt, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了针对负实（NI）系统合成严格真动态输出反馈控制器的必要且充分条件，方法基于求解两个对偶代数 Riccati 方程（AREs）。该方法通过 Schur 分解与 Lyapunov 方程避免了奇异 Hamiltonian 矩阵问题，确保闭环系统保持 NI 性质，并在被控对象不确定性为严格负实（SNI）时实现正反馈下的鲁棒稳定性。

ABSTRACT

This paper presents necessary and sufficient conditions for deriving a strictly proper dynamic controller which satisfies the negative imaginary output feedback control problem. Our synthesis method divides the output feedback control problem into a state feedback problem and a dual output injection problem. Thus, a controller is formed using the solutions to a pair of dual algebraic Riccati equations. Finally, an illustrative example is offered to show how this method may be applied.

研究动机与目标

• 解决负实系统中动态输出反馈控制器合成缺乏必要且充分条件的问题。
• 克服先前方法仅提供充分条件或无法保证渐近稳定性的局限性。
• 确保当被控对象不确定性为严格负实（SNI）时，闭环系统保持负实性，并在正反馈下实现鲁棒稳定。
• 开发一种计算上可行的方法，利用 Schur 分解与 Lyapunov 方程求解对偶 AREs，避免奇异 Hamiltonian 问题。
• 提出一种控制器设计框架，将输出反馈问题分解为状态反馈与对偶输出注入问题，实现系统化的合成。

提出的方法

• 利用系统对偶性，将输出反馈控制问题分解为状态反馈问题与对偶输出注入问题。
• 通过求解两个对偶代数 Riccati 方程（AREs）构造控制器，确保闭环系统继承负实性质。
• 对类似 Hamiltonian 的矩阵结构应用 Schur 分解，避免在 NI 系统的 ARE 中常见的奇异性问题。
• 通过 Schur 分解导出的两个 Lyapunov 方程求解对偶 AREs 的解。
• 利用对偶 AREs 的解进行状态估计与反馈，构建控制器，确保严格真性与稳定性。
• 使用变换矩阵对系统进行对角化，以隔离控制设计中起关键作用的矩阵方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于负实系统，严格真动态控制器解决输出反馈控制问题的必要且充分条件是什么？
• RQ2 如何在避免 NI 系统中常见的奇异 Hamiltonian 问题的前提下，稳健求解对偶代数 Riccati 方程？
• RQ3 该控制器合成方法能否同时保证闭环系统的负实性质与渐近稳定性？
• RQ4 如何利用状态反馈与输出注入之间的对偶性，推导出系统化的控制器设计流程？
• RQ5 在被控对象不确定性为严格负实（SNI）时，何种条件可保证闭环系统在正反馈下仍保持鲁棒稳定？

主要发现

• 本文建立了负实系统中动态输出反馈控制器合成的必要且充分条件，填补了以往研究仅提供充分条件的空白。
• 通过使用 Schur 分解并求解两个 Lyapunov 方程，控制器设计避免了奇异 Hamiltonian 问题，实现了可靠的数值计算。
• 只要直流增益小于单位值，闭环系统可保证为负实，从而在被控对象不确定性为严格负实（SNI）时，实现正反馈下的鲁棒稳定性。
• 该方法成功地将输出反馈问题分解为状态反馈与对偶输出注入问题，其解由对偶 AREs 导出。
• 控制器为严格真，且确保渐近稳定，与早期方法不同，后者无法排除在原点处存在极点的可能性。
• 推导过程中使用的变换矩阵确保所得到的控制器保持所需的结构特性，对矩阵逆与 Riccati 解的正定性有明确条件约束。