[论文解读] Output feedback exponential stabilization for 1-D unstable wave equations with boundary control matched disturbance

Hua‐Cheng Zhou, George H. Weiss|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文针对边界控制匹配总扰动（包含非线性内部不确定性与有界外部扰动）的一维不稳定波动方程，提出了一种仅使用两个位移测量值（w(0,t), w(1,t)）的输出反馈指数稳定化控制器。通过设计低增益扰动估计器与基于观测器的控制器，实现了闭环系统的指数稳定，同时确保所有内部信号一致有界。

ABSTRACT

We study the output feedback exponential stabilization of a one-dimensional unstable wave equation, where the boundary input, given by the Neumann trace at one end of the domain, is the sum of the control input and the total disturbance. The latter is composed of a nonlinear uncertain feedback term and an external bounded disturbance. Using the two boundary displacements as output signals, we design a disturbance estimator that does not use high gain. It is shown that the disturbance estimator can estimate the total disturbance in the sense that the estimation error signal is in $L^2[0,\infty)$. Using the estimated total disturbance, we design an observer whose state is exponentially convergent to the state of original system. Finally, we design an observer-based output feedback stabilizing controller. The total disturbance is approximately canceled in the feedback loop by its estimate. The closed-loop system is shown to be exponentially stable while guaranteeing that all the internal signals are uniformly bounded.

研究动机与目标

• 研究一维不稳定波动方程在Neumann边界控制下，受非线性内部不确定性与有界外部扰动共同作用的指数稳定化问题。
• 设计仅利用两个位移测量值（w(0,t) 与 w(1,t)）作为输出信号的输出反馈控制器，避免难以获取的速度测量。
• 在存在内部模型不确定性和外部扰动的情况下，实现闭环系统的指数稳定。
• 设计一种不依赖高增益技术的扰动估计器，确保估计误差属于 $L^2[0,ty)$。
• 构建基于估计扰动的观测器，实现仅通过输出测量即可完成全状态反馈控制。

提出的方法

• 利用两个基于PDE的动力学系统设计扰动估计器，无需高增益即可估计总扰动 $F(t) = f(w, w_t) + d(t)$。
• 仅使用测量得到的位移 $w(0,t)$ 与 $w(1,t)$ 作为输出信号，驱动扰动估计器与观测器。
• 构造一个状态观测器，通过结合扰动估计与基于反推法的观测器设计，使观测器状态指数收敛至真实系统状态。
• 实施基于观测器的输出反馈控制器，在反馈回路中抵消估计的总扰动。
• 应用反推变换稳定变换后的系统，确保状态范数指数衰减。
• 利用李雅普诺夫泛函与能量估计，证明闭环系统具有指数稳定性，且所有内部信号一致有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用两个位移测量值，实现对一维不稳定波动方程在边界控制匹配总扰动下的指数稳定？
• RQ2 是否可以设计一种不依赖高增益的扰动估计器，确保估计误差属于 $L^2[0,ty)$？
• RQ3 能否仅利用位移测量值构造状态观测器，实现观测器状态对真实系统状态的指数收敛？
• RQ4 所提出的基于观测器的输出反馈控制器是否能保证闭环系统的指数稳定与所有内部信号的有界性？
• RQ5 该方法能否推广至边界处为负阻尼器而非负弹簧的系统？

主要发现

• 扰动估计器成功估计了总扰动 $F(t)$，且估计误差属于 $L^2[0,ty)$，无需依赖高增益技术。
• 状态观测器确保观测器状态对真实系统状态实现指数收敛，估计误差随时间指数衰减。
• 闭环系统具有指数稳定性，状态范数 $(w, w_t)$ 按指数速率衰减，其衰减界限为 $\|(v(\cdot,t), v_t(\cdot,t))\|_{\mathbb{H}} \leq M_2 e^{-\mu_2 t} + 4M_1 e^{-\mu_1 t}$。
• 闭环系统中所有内部信号（包括控制输入与观测器状态）均保持一致有界。
• 所提控制器在一般有界扰动下无需滑模控制即可实现指数稳定。
• 该方法可扩展至其他PDE系统，如具有Dirichlet边界控制与匹配扰动的一维不稳定波动方程，仅需两个位移测量值。