[论文解读] Output feedback exponential stabilization of a nonlinear 1-D wave equation with boundary input

Hua‐Cheng Zhou, George H. Weiss|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对具有边界输入的非线性一维波动方程的输出反馈指数稳定化方法，其中同时存在内部不确定性与外部扰动。仅使用两个位移测量值，设计了一种无高增益的扰动估计器与状态观测器，通过反推法与主动扰动 rejection 控制（ADRC）实现扰动抑制与指数稳定。关键贡献在于仅使用最少的输出测量实现了闭环系统的指数稳定。

ABSTRACT

This paper develops systematically the output feedback exponential stabilization for a one-dimensional unstable/anti-stable wave equation where the control boundary suffers from both internal nonlinear uncertainty and external disturbance. Using only two displacement signals, we propose a disturbance estimator that not only can estimate successfully the disturbance in the sense that the error is in $L^2(0,\infty)$ but also is free high-gain. With the estimated disturbance, we design a state observer that is exponentially convergent to the state of original system. An observer-based output feedback stabilizing control law is proposed. The disturbance is then canceled in the feedback loop by its approximated value. The closed-loop system is shown to be exponentially stable and it can be guaranteed that all internal signals are uniformly bounded.

研究动机与目标

• 解决具有内部非线性不确定性与外部扰动的一维不稳定/反稳定波动方程的输出反馈指数稳定化问题。
• 设计一种不依赖高增益结构的扰动估计器，实现在 L²(0,∞) 意义下对总扰动（未知函数 f 与外部 d）的估计。
• 基于扰动估计器构建状态观测器，仅使用两个输出信号即可实现对真实系统状态的指数收敛。
• 设计基于观测器的输出反馈控制律，实时抵消估计的扰动，并确保闭环系统的指数稳定。
• 通过仅使用两个位移信号（w(0,t) 与 w(1,t)）最小化测量数量，证明该数量几乎是最小的。

提出的方法

• 设计一种基于PDE的扰动估计器的动态补偿器，避免使用高增益结构，从而确保鲁棒性并避免估计误差中的峰值现象。
• 扰动估计器基于测量输出 w(0,t) 与 w(1,t) 构建，实现在 L²(0,∞) 意义下对总扰动 F(t) = f(w(·,t),w_t(·,t)) + d(t) 的估计。
• 基于扰动估计器设计状态观测器，利用测量输出与估计扰动重构完整状态 (w, w_t)，实现指数收敛。
• 通过反推法设计控制律，利用观测器状态构造反馈控制，实现实时抵消估计的扰动。
• 在希尔伯特状态空间中分析闭环系统，利用李雅普诺夫泛函与能量估计证明指数稳定。
• 该方法被扩展至具有 x=0 处负阻尼的替代反稳定波动方程，仍实现相同的指数稳定，且使用相同的最小测量集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用两个输出信号，实现对具有边界输入的非线性一维波动方程在内部不确定性与外部扰动同时存在下的指数稳定？
• RQ2 能否设计一种不依赖高增益机制的扰动估计器，同时确保总扰动在 L²(0,∞) 意义下的估计误差？
• RQ3 能否仅基于位移测量与估计扰动设计一个状态观测器，使其对真实系统状态实现指数收敛？
• RQ4 扰动估计、状态观测与反推控制的结合是否能实现闭环系统的指数稳定？
• RQ5 所提方法能否扩展至具有负阻尼而非负弹簧边界条件的反稳定波动方程？

主要发现

• 在所提出的输出反馈控制律下，闭环系统实现指数稳定，且所有内部信号一致有界。
• 扰动估计器成功在 L²(0,∞) 意义下估计了总扰动 F(t)，且未使用高增益结构。
• 即使存在未知非线性与扰动，状态观测器仍能实现对波动系统真实状态的指数收敛。
• 控制律仅使用两个位移测量即可实现指数稳定，且证明所需传感器数量几乎是最小的。
• 当 f ≡ d ≡ 0 时，瞬态状态 (v, v_t, z, z_t, W) 以速率 μ′ > 0 指数衰减。
• 该方法被扩展至 x=0 处具有负阻尼的反稳定波动方程，仍实现指数稳定，且使用相同的最小测量集合。