[论文解读] Output-sensitive algorithms for sumset and sparse polynomial multiplication

Andrew Arnold, Daniel S. Roche|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种随机化、输出敏感的算法，用于计算整数集合的和集（sumset）以及在整数、有限域和有理数上对稀疏的单变量和多变量多项式进行乘法运算。关键贡献是一种具有软-oh时间复杂度 Oµ(S log C + T log D) 的算法，其中 S 为乘积的实际稀疏度，T 为结构稀疏度（即支撑集的和集大小），C 和 D 分别为系数和次数的上界——在实际相关参数下实现了近乎线性的时间性能。

ABSTRACT

We present randomized algorithms to compute the sumset (Minkowski sum) of two integer sets, and to multiply two univariate integer polynomials given by sparse representations. Our algorithm for sumset has cost softly linear in the combined size of the inputs and output. This is used as part of our sparse multiplication algorithm, whose cost is softly linear in the combined size of the inputs, output, and the sumset of the supports of the inputs. As a subroutine, we present a new method for computing the coefficients of a sparse polynomial, given a set containing its support. Our multiplication algorithm extends to multivariate Laurent polynomials over finite fields and rational numbers. Our techniques are based on sparse interpolation algorithms and results from analytic number theory.

研究动机与目标

• 开发针对稀疏多项式乘法的输出敏感算法，使其复杂度与乘积的实际稀疏度和结构稀疏度成比例。
• 高效计算两个整数集合的和集（Minkowski 和），作为稀疏乘法的关键子程序。
• 通过 Kronecker 替换技术，将稀疏乘法扩展至多变量洛朗多项式及多种系数环。
• 在保持高度稀疏输入效率的同时，使复杂度接近稠密算术的复杂度。
• 提供一种随机化算法，其失败概率可控且软-oh复杂度依赖于结构稀疏度和实际稀疏度。

提出的方法

• 基于数论结果的随机化和集算法，以软-oh复杂度在输出大小范围内计算 A ⊕ B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}。
• 应用稀疏插值技术，利用已知的支撑集恢复乘积多项式的系数。
• 利用 Kronecker 替换将多变量多项式乘法简化为单变量形式，同时保持稀疏结构。
• 使用模运算和中国剩余定理，从缩减大小的计算中重构完整精度的系数。
• 采用两阶段方法：首先使用结构支撑 T 在模素数下计算乘积，然后恢复真实支撑 S 并重构完整系数。
• 使用消失素数（vanish-primes）和有理数重构，确保正确性，失败概率低于 µ，同时保持软-oh复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以实现时间复杂度与乘积的实际稀疏度和结构稀疏度成比例的稀疏多项式乘法，而非与输入稀疏度的平方成比例？
• RQ2 是否可能在输出大小的软线性时间内计算两个整数集合的和集？
• RQ3 随机化算法能否在保持高概率正确性的前提下，实现接近最优的复杂度？
• RQ4 结构稀疏度 T = #poss(F, G) 与实际稀疏度 S = #supp(FG) 的关系如何？能否设计出利用这一差异的算法？
• RQ5 该方法能否扩展至多变量洛 Laurent 多项式及 Z、Zm、GF(qe) 和 Q 等多种系数环，且复杂度开销最小？

主要发现

• 所提出的和集计算算法在 Oµ(T log T) 次位运算内完成，其中 T 为输出大小，实现对输出大小的软线性复杂度。
• 稀疏多项式乘法算法的时间复杂度为 Oµ(S log C + T log D) 次位运算，其中 S 为乘积的实际稀疏度，T 为支撑集和集的结构稀疏度。
• 该算法以超过 1 − µ 的概率正确计算乘积 FG，采用随机化模约减和有理数重构。
• 通过 Kronecker 替换，该方法可自然扩展至 Z、Zm、GF(qe) 和 Q 上的多变量洛 Laurent 多项式，n 个变量和系数位长 B 时的复杂度为 Oµ(T(n log D + B))。
• 当结构稀疏度 T 较小时，该算法的复杂度接近稠密乘法的复杂度，对稀疏输入具有近乎最优的复杂度。
• 该方法将成本分离为依赖 T 和依赖 S 的两部分，从而在无系数抵消的情况下高效处理指数碰撞。