[论文解读] Output tracking based on extended observer for nonlinear uncertain systems

Wang, Xinhua, Chen, Zengqiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2023

Adaptive Control of Nonlinear Systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种高增益扩展观测器，用于非线性不确定系统，以估计系统不确定性及至 $ n $ 阶的信号导数，即使在存在扰动的情况下，也能实现输出跟踪误差及其导数的快速收敛至零。基于该观测器设计的控制器确保了渐近稳定性和快速的误差衰减，通过理论分析和在具有正弦参考信号跟踪的非线性系统上的仿真得到验证。

ABSTRACT

A high-gain extended observer is designed for a class of nonlinear uncertain systems. This observer has the ability of estimating system uncertainty, and it can be used to estimate the derivatives of signal up to order n. The controller based on this extended observer can make the tracking error and its derivatives converge to zero rapidly even when uncertainties and disturbances exist. The result of simulation indicates that this method has satisfactory control performance for nonlinear uncertain systems.

研究动机与目标

• 解决非线性系统中存在未知扰动和不确定动力学时的输出跟踪挑战。
• 设计一种观测器，能够估计系统不确定性以及参考信号至 $ n $ 阶的导数。
• 在存在不确定性与扰动的情况下，确保跟踪误差及其导数快速收敛至零。
• 证明扩展观测器及整个控制系统的稳定性。
• 通过理论分析与仿真展示该方法的有效性。

提出的方法

• 使用一组不同的正实数 $ \lambda_i $ 设计高增益扩展观测器，形成具有系数 $ h_i $ 的特征多项式。
• 通过状态空间模型定义观测器结构，其中包含矩阵 $ A $、输入矩阵 $ B $ 以及一个小的扰动参数 $ \varepsilon \in (0,1) $。
• 观测器通过反馈项 $ \varepsilon^{-i} (\widehat{e}_1 - e_1) $ 估计跟踪误差向量 $ \widehat{e} $，包括不确定性项 $ x_{n+1} = f(\cdot) $。
• 基于切换变量 $ \sigma(t) = \widehat{e}_2 + \widehat{e}_1 $ 设计滑模控制器，其到达律确保有限时间收敛至滑模面。
• 采用李雅普诺夫稳定性分析，证明估计误差 $ \delta(t) = \widehat{e} - e $ 收敛至与 $ \varepsilon $ 成比例的界，且跟踪误差 $ e(t) $ 收敛至 $ \mathcal{O}(\sqrt{\varepsilon}) $。
• 观测器设计使得其特征值位于 $ -\lambda_i / \varepsilon^i $，确保当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时快速收敛。

Figure 1: System output tracking errors.

实验结果

研究问题

• RQ1 高增益扩展观测器能否在非线性不确定系统中同时估计系统不确定性及参考信号至 $ n $ 阶的导数？
• RQ2 如何设计该观测器，以在不确定性下实现快速收敛并保持有界的估计误差？
• RQ3 何种控制律可确保在未知扰动下，输出跟踪误差及其导数收敛至零？
• RQ4 能否严格证明扩展观测器及整个闭环系统的稳定性？
• RQ5 观测器增益参数 $ \varepsilon $ 与跟踪误差最终界之间的定量关系是什么？

主要发现

• 扩展观测器在 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时实现估计误差 $ \|\delta(t)\| \to 0 $ 的快速收敛，确保了对不确定性与导数的精确估计。
• 对于任意固定的 $ \varepsilon \in (0,1) $，估计误差有界：$ \|\delta(t)\| \leq \frac{\varepsilon M}{\lambda} \|T\| \|T^{-1}\| $，其中 $ M $ 为不确定性的导数上界，$ \lambda $ 为观测器最小极点。
• 跟踪误差 $ \|e(t)\| $ 收敛至与 $ \sqrt{\varepsilon} $ 成比例的界，即 $ \|e(t)\| \leq k_p \sqrt{\varepsilon} $，其中 $ k_p $ 为正常数。
• 仿真结果表明，即使存在非线性与扰动，控制器仍能对非线性系统实现快速且精确的输出跟踪，参考信号为 $ y_d = 2\sin t $。
• 滑模控制器确保有限时间收敛至滑模面 $ \sigma(t) = 0 $，此后系统保持在稳定、降阶的动力学模式中。
• 理论分析确认闭环系统渐近稳定，李雅普诺夫函数以与 $ \eta_1 \Phi $ 成比例的速率递减，确保误差能量呈指数衰减。