[论文解读] Overcoming exponential scaling with system size in Trotter-Suzuki implementations of constrained Hamiltonians: 2+1 U(1) lattice gauge theories

Dorota M. Grabowska, Christopher J. Kane+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2022

Quantum many-body systems被引用 5

一句话总结

该论文提出一种方法，通过使用编织矩阵构造重新定义算符基，减少Trotter-Suzuki算法模拟约束哈密顿量（特别是2+1D U(1)规范场理论）时的指数级门数增长。该方法将全局和的非多项式函数转化为对数尺度项，使资源成本从系统尺寸的指数级降低为多项式级。

ABSTRACT

For many quantum systems of interest, the classical computational cost of simulating their time evolution scales exponentially in the system size. At the same time, quantum computers have been shown to allow for simulations of some of these systems using resources that scale polynomially with the system size. Given the potential for using quantum computers for simulations that are not feasible using classical devices, it is paramount that one studies the scaling of quantum algorithms carefully. This work identifies a term in the Hamiltonian of a class of constrained systems that naively requires quantum resources that scale exponentially in the system size. An important example is a compact U(1) gauge theory on lattices with periodic boundary conditions. Imposing the magnetic Gauss' law a priori introduces a constraint into that Hamiltonian that naively results in an exponentially deep circuit. A method is then developed that reduces this scaling to polynomial in the system size, using a redefinition of the operator basis. An explicit construction of the matrices defining the change of operator basis, as well as the scaling of the associated computational cost, is given.

研究动机与目标

• 解决Trotter-Suzuki算法模拟约束哈密顿量（特别是具有周期性边界条件的U(1)规范场理论）时的量子资源指数级增长问题。
• 识别出施加磁高斯定律约束会导致耦合度（DoC）随系统尺寸增长，从而引发指数级门数。
• 通过算符基变换，提出一种通用方法，将非多项式函数的耦合度从O(N)降低至O(log N)。
• 证明该基变换在显著降低量子线路深度和门数的同时，保持物理一致性。
• 提供变换矩阵的显式构造方法，并量化其计算成本，表明该方法可扩展至大规模系统。

提出的方法

• 引入基变换，重新定义算符代数，使得非多项式函数中的全局和（如总通量的余弦）以对数尺度项表示。
• 通过一种‘编织’过程递归构造变换矩阵，将低维矩阵组合起来，确保计算成本为O(N log N)。
• 将基变换应用于包含局部通量算符和的非多项式函数的磁哈密顿量项，使其耦合度从O(N)降低至O(log N)。
• 表明电哈密顿量原本为双线性形式，基变换后可能引入最多O(N_p^2)项，但与磁项中获得的指数级节省相比，该成本可忽略不计。
• 使用Suzuki-Trotter分解模拟时间演化，由于耦合度降低，现在实现多项式门数缩放而非指数级缩放。
• 提供变换矩阵和最终量子线路的显式矩阵构造及缩放估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过算符基重定义缓解约束哈密顿量Trotter-Suzuki模拟中的指数级门数增长？
• RQ2 U(1)规范场理论中，全局约束引入的最大耦合度是多少？它如何影响量子模拟成本？
• RQ3 如何在不引入指数级资源开销的前提下，高效地在量子计算机上实现全局和的非多项式函数（如cos(∑Q_i)）？
• RQ4 实现低耦合度的变换矩阵的计算成本是多少？该成本能否随系统尺寸高效扩展？
• RQ5 基变换是否在保持理论物理内容的同时，实现可扩展的量子模拟？

主要发现

• 所提出的基重定义将非多项式函数的耦合度从O(N)降低至O(log N)，将指数级资源缩放转化为多项式缩放。
• 对于3×3晶格且每个算符使用两个量子比特的情况，原始基需要O(10^5)个门，而编织基将其减少至O(10^2)个门。
• 对于4×4晶格，原始基的门数增长至O(10^9)，而编织基保持在O(10^2)个门，显示出显著降低。
• 变换矩阵的构造时间成本为O(N log N)，使该方法可扩展至大规模系统。
• 电哈密顿量复杂度的增加被限制在O(N_p^2 n_q^2)以内，与磁项中获得的指数级节省相比可忽略不计。
• 该方法打破了模拟约束哈密顿量的指数级资源壁垒，使在近场设备上实现U(1)规范场理论的可行量子模拟成为可能。