[论文解读] Overconvergent de Rham-Witt cohomology for semistable varieties

Oliver Gregory, Andreas Langer|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文为正特征的完美域上的半稳定概形引入了霍约-卡托复形的过收敛版本，证明其有理上同调群计算拟射影半稳定概形的对数刚性上同调。此外，还建立了过收敛霍约-卡托上同调在射影情形下与对数晶体上同调的一致性，并通过新复形描述了单值算子。

ABSTRACT

We define an overconvergent version of the Hyodo-Kato complex for semistable varieties $Y$ over perfect fields of positive characteristic, and prove that its hypercohomology tensored with $\mathbb{Q}$ recovers the log-rigid cohomology when $Y$ is quasi-projective. We then describe the monodromy operator using the overconvergent Hyodo-Kato complex. Finally, we show that overconvergent Hyodo-Kato cohomology agrees with log-crystalline cohomology in the projective semistable case.

研究动机与目标

• 通过构造德雷姆-惠特复形的过收敛版本，将霍约-卡托理论推广至非完备的半稳定概形。
• 建立过收敛霍约-卡托上同调与拟射影半稳定概形的对数刚性上同调之间的比较。
• 通过过收敛霍约-卡托复形描述对数刚性上同调上的单值算子。
• 证明在射影半稳定情形下，过收敛与经典霍约-卡托上同调一致。
• 调和两种过收敛复形的构造方法——通过原始霍约-卡托方法与现代松江框架——并证明其等价性。

提出的方法

• 将过收敛霍约-卡托复形 $W^{lat}\rho_{Y/k}^\bullet$ 构造为经典霍约-卡托复形 $W\theta_{Y/k}^\bullet$ 的子复形，利用权重滤子和韦特向量值微分形式的过收敛条件。
• 应用 Mokshayev [Mok93] 的方法，通过过收敛复形描述对数刚性上同调上的单值算子。
• 利用对数德雷姆-惠特复形分解为整数部分与分数部分，证明分数部分是上同调平凡的，从而将过收敛部分分离为整数部分。
• 证明在 $R = k$ 的情形下，过收敛复形与松江对数德雷姆-惠特复形一致，填补了文献中的空白。
• 对 $W_n$ 使用射影极限，并利用完备概形上同调群的有限长度性质，证明在射影情形下有 $\mathbb{H}^*(Y, W^{lat}\omega_{Y/k}^\bullet) \cong \mathbb{H}^*(Y, W\omega_{Y/k}^\bullet)$。
• 应用 [BMS16] 和 [Mat17] 中关于分数部分的上同调平凡性及涉及 $\theta_m = \sum d\log[T_i]$ 的短正合列的结果，建立分解与过收敛部分的上同调平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为正特征完美域上非完备的半稳定概形定义霍约-卡托复形的过收敛版本？
• RQ2 过收敛霍约-卡托复形的有理上同调群是否计算拟射影半稳定概形的对数刚性上同调？
• RQ3 如何通过过收敛霍约-卡托复形描述对数刚性上同调上的单值算子？
• RQ4 在射影半稳定情形下，过收敛霍约-卡托上同调是否同构于经典对数晶体上同调？
• RQ5 通过原始霍约-卡托方法与松江对数德雷姆-惠特复形框架构造的过收敛复形是否等价？

主要发现

• 过收敛霍约-卡托复形 $W^{lat}\omega_{Y/k}^\bullet$ 计算了拟射影半稳定概形的对数刚性上同调，且满足 $R\Gamma_{\text{log-rig}}(Y/\mathfrak{S}_0) \cong \mathbb{R}\Gamma(Y, W^{lat}\omega_{Y/k}^\bullet \otimes \mathbb{Q})$。
• 对数刚性上同调上的单值算子通过过收敛霍约-卡托复形得以描述，推广了 [Mok93] 的方法。
• 在射影半稳定情形下，典范映射 $\mathbb{H}^*(Y, W^{lat}\omega_{Y/k}^\bullet) \to \mathbb{H}^*(Y, W\omega_{Y/k}^\bullet)$ 是有限型 $W(k)$-模的同构。
• 过收敛复形可分解为整数部分与分数部分，其中分数部分上同调平凡，从而保证 $W^{lat}\omega_{Y/k}^\bullet$ 与它的整数部分是拟同构的。
• 通过原始霍约-卡托方法与松江对数德雷姆-惠特复形框架构造的过收敛复形一致；当 $R = k$ 时，后者恢复经典霍约-卡托复形，填补了文献中的空白。
• 分数部分的上同调平凡性继承自多项式代数的情形，且 $W^{lat}\omega_{Y/k}^\bullet$ 的 $p$-挠自由性确保了模 $p^n$ 上同调在射影极限下保持不变。