[论文解读] Overhang penalization in additive manufacturing via phase field structural topology optimization with anisotropic energies

Harald Garcke, Kei Fong Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2021

Topology Optimization in Engineering被引用 3

一句话总结

本文提出一种具有各向异性能量泛函的相场拓扑优化方法，用于在增材制造中惩罚悬垂结构，确保无需外部支撑的自支撑设计。通过引入凸与非凸各向异性的方法，利用次微分法与渐近分析强制实现悬垂角度约束，生成更陡峭、自支撑的结构——尤其在强各向异性条件下表现显著，通过悬臂梁与桥梁设计的数值模拟得到验证。

ABSTRACT

A phase field approach for structural topology optimization with application to additive manufacturing is analyzed. The main novelty is the penalization of overhangs (regions of the design that require underlying support structures during construction) with anisotropic energy functionals. Convex and non-convex examples are provided, with the latter showcasing oscillatory behavior along the object boundary termed the dripping effect in the literature. We provide a rigorous mathematical analysis for the structural topology optimization problem with convex and non-continuously-differentiable anisotropies, deriving the first order necessary optimality condition using subdifferential calculus. Via formally matched asymptotic expansions we connect our approach with previous works in the literature based on a sharp interface shape optimization description. Finally, we present several numerical results to demonstrate the advantages of our proposed approach in penalizing overhang developments.

研究动机与目标

• 解决增材制造中因悬垂结构需使用支撑结构而带来的成本增加与后处理复杂性问题。
• 建立数学框架，在拓扑优化过程中通过施加最小悬垂角度约束来惩罚悬垂结构。
• 引入各向异性能量泛函，基于构建方向惩罚悬垂区域，以促进自支撑几何形态。
• 利用次微分法对非连续可微的各向异性进行严格的数学分析，处理优化问题。
• 通过形式匹配的渐近展开，建立相场模型与尖锐界面形状优化之间的联系。

提出的方法

• 提出一种基于相场变量 ϕ ∈ [0,1] 的结构拓扑优化方法，其中 ϕ = 1 表示材料，ϕ = 0 表示孔隙。
• 引入各向异性能量泛函 γ(ν)，用于惩罚界面处法向量 ν 与临界阈值 ψ 之间悬垂角度过小的区域。
• 采用凸正则化各向异性（6.2式），通过参数 α 控制惩罚的强度与方向性，其中 α = 1 对应各向同性行为。
• 利用次微分法推导一阶最优性条件，以处理非凸与非连续可微的各向异性。
• 通过形式匹配的渐近展开，将相场模型与尖锐界面形状优化联系起来，验证模型与经典公式的自洽性。
• 采用有限元法结合自适应时间步长与质量守恒约束，数值求解所得的PDE约束优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从数学上构建各向异性能量泛函，以在增材制造中惩罚悬垂结构，同时确保结构完整性？
• RQ2 凸与非凸各向异性对拓扑优化中振荡边界层（滴落效应）的形成有何影响？
• RQ3 所提出的具有各向异性能量的相场模型与经典尖锐界面形状优化模型之间存在何种关系？
• RQ4 各向异性参数 α 的选择在多大程度上影响悬臂梁与桥梁设计中自支撑结构的几何形态？
• RQ5 该方法能否生成无需外部支撑的自支撑设计？其性能与各向同性或标准拓扑优化结果相比如何？

主要发现

• 所提方法通过在悬臂梁中偏好更陡峭的内部连接结构，成功惩罚了悬垂结构，尤其在强各向异性条件下（α = 0.2），内部结构几乎呈垂直方向。
• 当 α = 0.2 时，设计收敛至无内部连接构件的构型，表明对自支撑几何形态具有强烈偏好。
• 数值结果表明，由于特定法线方向上 γ(ν) 值更高，α 值越小，界面层（相场过渡区）越厚，与渐近分析预测一致。
• 在桥梁设计中，各向异性情况（α = 0.7, 0.5）在底部表现出更尖锐、更清晰的棱角，而各向同性情况（α = 1）的底部则更平滑圆润，表明更符合悬垂约束。
• 将 ε 从 1/(32π) 降低至 1/(64π) 导致界面层变薄，证实了相场模型向尖锐界面极限的渐近收敛性。
• 该方法在非凸各向异性情况下有效抑制了滴落效应，尽管在边界附近观察到振荡行为，与已有文献结果一致。