[论文解读] Overlapping Multi-Patch Isogeometric Method with Minimal Stabilization

Pablo Antolín, Annalisa Buffa+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 40被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种重叠多子域等几何方法，采用最小化稳定化策略，以实现对通过布尔并集运算生成的复杂几何体的分析。通过叠加非协调、裁剪的样条子域，并结合基于面积比的Nitsche方法稳定化，该方法在2D几何体上对Poisson方程和线性弹性问题均实现了稳定性与最优收敛性。

ABSTRACT

We present a novel method for isogeometric analysis (IGA) to directly work on geometries constructed by Boolean operations including difference (i.e., trimming), union and intersection. Particularly, this work focuses on the union operation, which involves multiple independent, generally non-conforming and trimmed spline patches. Given a series of patches, we overlay one on top of another in a certain order. While the invisible part of each patch is trimmed away, the visible parts of all the patches constitute the entire computational domain. We employ the Nitsche's method to weakly couple independent patches through visible interfaces. Moreover, we propose a minimal stabilization method to address the instability issue that arises on the interfaces shared by small trimmed elements. We show in theory that our proposed method recovers stability and guarantees well-posedness of the problem as well as optimal error estimates. In the end, we numerically verify the theory by solving the Poisson's equation on various geometries that are obtained by the union operation.

研究动机与目标

• 实现对通过布尔并集运算构建的复杂2D几何体的等几何分析，这类几何体在CAD中常见，但对传统分析方法具有挑战性。
• 解决重叠子域界面处因小裁剪单元（劣质单元）引起的不稳定性问题。
• 开发一种仅在极小部分单元上激活的最小化稳定化策略，以保持最优收敛性并降低计算成本。
• 为重叠多子域等几何方法提供理论基础，确保适定性与最优误差估计。
• 通过裁剪、重叠与复杂几何并集的实际算例，验证该方法的鲁棒性与收敛性。

提出的方法

• 按指定顺序叠加多个独立的、非协调的、裁剪的样条子域，其中可见部分构成计算域。
• 采用Nitsche方法弱式强制子域间可见界面的连续性，实现无需匹配网格的耦合。
• 提出一种基于单元面积比的最小化稳定化技术，对面积比低于10%的单元使用单边数值通量进行稳定化。
• 为界面单元构建专用积分网格，以精确处理切割单元上的积分。
• 仅对一小部分单元（测试中占3–7%）应用稳定化，从而在保证稳定性的同时最小化计算开销。
• 在一般几何构型下，确保理论适定性与最优误差估计（$H^1$与$L^2$范数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为涉及非协调、裁剪子域的布尔并集运算生成的几何体，开发出稳定且收敛的等几何方法？
• RQ2 如何在不损害收敛速率或增加计算成本的前提下，解决由小裁剪单元引起的不稳定性？
• RQ3 在重叠多子域等几何分析中，何种最小化稳定化策略可确保适定性与最优误差估计？
• RQ4 在复杂界面与几何误差存在的情况下，该方法在多大程度上仍能保持最优收敛性？
• RQ5 该方法能否扩展至3D体素表示（V-reps）同时保持鲁棒性与精度？

主要发现

• 在度数为2、3和4的Poisson方程上，该方法在通过并集运算生成的几何体上实现了$H^1$与$L^2$范数下的最优收敛率。
• 数值测试中仅需对3–7%的切割单元进行稳定化，证实了该稳定化策略的最小化特性。
• 在几何容差（$ ilde{10^{-8}}$）极限之前，不同子域叠加排列方式下的收敛行为无法区分。
• 该方法在复杂构型下仍保持鲁棒性，例如三重重叠区域，并能正确捕捉孔洞附近的应力集中现象。
• 数值结果表明，当$L^2$-范数误差超过$10^{-8}$后，几何误差成为主导因素，表明当前CAD容差限制了模拟精度。
• 该方法在平面应变条件下成功求解了线弹性问题，并在精细网格上可视化了von Mises应力与位移场。