[论文解读] Overlapping non Matching Meshes Domain Decomposition Method in Isogeometric Analysis

Michel Bercovier, Ilya Soloveichik|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 16被引用 17

一句话总结

该论文提出了一种在等几何分析（IGA）中用于求解复杂几何体上PDE问题的重叠非匹配网格区域分解方法（ASDDM），并通过“Chimera”型放大技术实现局部加密。通过在非匹配重叠子域上应用加法Schwarz迭代，该方法实现了快速收敛，能够处理修剪曲面和非匹配网格，并天然支持并行计算，从而实现高精度、低几何近似误差的大规模三维模拟。

ABSTRACT

One of the important aspects of IsoGeometric Analysis (IGA) is the strong link between Computer Aided Design and analysis. Two of IGA'a major challenge are the assembly of patches (Constructive Solid Geometry geometries made of Boolean primitives) and local refinement. In the present work we apply the Additive Schwarz Domain Decomposition on overlapping domains. To leverage the power of IGA we consider non matching meshes to solve PDEs on CSG assemblies. As a side effect also we deal with local refinement . As a first step we study a collection of simple two domains problems, using the software package GeoPDEs, all of them converged rapidly, even on very distorted domains. For local refinement we implement a Chimera type of zooming together with ASDDM iterations, and here again we get very attractive results. A last effect is that the additive methods are naturally parallelizable and thus can extend to large 3D problems. We give some examples of computations on multi-patch bodies. This new implementation of the DD methods brings many interesting problems such as: the definition of boundary conditions on trimmed patches, choice of blending operators on the intersections , optimization of the overlap size, choice of preconditioning to guarantee convergence ( as we do not have a maximum principle here.)

研究动机与目标

• 解决在等几何分析中由布尔运算（如CSG）构建的复杂几何体上求解PDE的挑战。
• 在不重新定义全局网格的前提下，实现IGA中的局部加密（放大）功能，克服T样条和层级B样条的局限性。
• 开发一种与IGA精确几何表示和高阶基函数兼容的非匹配、重叠区域分解框架。
• 通过加法Schwarz方法确保大规模三维问题的可扩展性和并行化能力。
• 研究在修剪曲面上施加边界条件以及最优重叠尺寸对收敛性的影响。

提出的方法

• 在具有非匹配网格的重叠子域上应用加法Schwarz区域分解方法（ASDDM），利用重叠界面耦合子域解。
• 在等几何分析中采用B样条基函数，以实现精确的几何表示和解的高阶逼近。
• 在ASDDM的迭代步骤中，使用迹算子（精确型与基于插值型）在重叠子域之间传递解数据。
• 实现并行化算法，使每个子域在独立处理器上独立求解，并在迭代间同步界面数据。
• 将该方法应用于多 patch 和重叠区域上的标准PDE问题（如泊松方程）和弹性力学问题。
• 采用弱形式和Galerkin方法进行变分公式化，通过ASDDM迭代求解直至收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基于CSG的复杂几何体上，等几何分析中的重叠非匹配网格区域分解能否实现PDE问题的快速收敛？
• RQ2 ASDDM方法在不改变全局参数化结构的前提下，对IGA中的局部加密（放大）效果如何？
• RQ3 重叠尺寸和B样条次数对收敛速率和解精度有何影响？
• RQ4 在非匹配重叠区域中，如何准确地在修剪曲面上施加狄利克雷边界条件？
• RQ5 在多核架构上，该并行化ASDDM实现的可扩展性和性能提升如何？

主要发现

• ASDDM方法在所有测试的二维和三维问题上均实现了快速收敛，包括高度扭曲的区域。
• 通过“Chimera”放大实现局部加密时，仅在细化区域内引入新的自由度，避免了全局网格的重新定义。
• 在四核机器上，对一个8子域多patch弹性力学问题，该并行实现获得了4倍的加速比。
• 收敛速率在不同B样条次数（最高至4次）下均表现稳健，精度无显著下降。
• 自由度数量随维度和多项式次数迅速增长，凸显了在大规模问题中采用区域分解的必要性。
• 该方法展现出天然的可并行化和可扩展性，适用于大规模三维问题。