[论文解读] Oversights in the Respective Theorems of von Neumann and Bell are Homologous

Joy Christian|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 25

一句话总结

本文认为冯·诺依曼定理与贝尔定理均存在同源疏漏：即在隐变量理论中不恰当地假设了期望值的可加性。通过证明非对易可观测量的期望值不满足可加性，作者重新推导出CHSH关联函数的界为$\pm 2\sqrt{2}$，而非$\pm 2$，这意味着贝尔实验并未排除局域实在论，而是排除了可加性假设，而该假设在一般隐变量理论中并不成立。

ABSTRACT

We show that the respective oversights in the von Neumann's general theorem against all hidden variable theories and Bell's theorem against their local-realistic counterparts are homologous. Both theorems unjustifiably assume the additivity of expectation values within hidden variable theories to derive their respective conclusions. However, for non-commuting observables, the equivalence of a sum of expectation values and the expectation value of the sum of measurement results, although respected within quantum mechanics, need not hold for hidden variable theories, regardless of specific characteristics such as local realism they may respect. Once this oversight is ameliorated from Bell's argument and local realism is implemented correctly, the bounds on the CHSH correlator work out to be ${\\pm2\\sqrt{2}}$ instead of ${\\pm2}$, thereby mitigating the conclusion of Bell's theorem. Consequently, what is ruled out by the Bell-test experiments is not local realism but the additivity of expectation values.

研究动机与目标

• 识别并分析冯·诺依曼定理与贝尔定理在隐变量理论中关于期望值可加性问题的共同基础性疏漏。
• 挑战广为接受的观点，即贝尔实验排除了局域实在论。
• 证明期望值可加性假设才是实验反驳的真正目标，而非局域实在论。
• 在正确处理隐变量理论中非对易可观测量的前提下，重新推导CHSH关联函数的界。
• 证明局域实在的隐变量理论在不假设可加性时，可重现高达$\pm 2\sqrt{2}$的量子关联，而非$\pm 2$。

提出的方法

• 分析冯·诺依曼定理与贝尔定理的数学结构，重点关注期望值可加性的假设。
• 指出在隐变量理论中，对于非对易可观测量，总和的期望值不等于各期望值之和。
• 通过非对易算符的本征值重构CHSH关联函数，表明总和算符的本征值并非各本征值的线性组合。
• 在正确处理隐变量模型中非对易性的前提下，推导出CHSH关联函数的修正界$\pm 2\sqrt{2}$。
• 利用算子代数证明，总和算符$a\mathcal{R} + b\mathcal{S} + c\mathcal{T} + d\mathcal{U}$的本征值$\mathscr{X}$在一般情况下并非各本征值的线性函数，除非所有算符彼此对易。
• 证明标准贝尔不等式推导的失败，是因为其假设了$\langle \mathcal{X} \rangle = \sum a_i \langle \mathcal{O}_i \rangle$，而该关系在隐变量模型中对非对易算符不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 冯·诺依曼定理与贝尔定理在期望值可加性问题上的共同疏漏本质为何？
• RQ2 为何期望值可加性假设会导致贝尔型不等式中出现错误的界？
• RQ3 若去除可加性假设，局域实在的隐变量理论是否仍能重现量子关联？
• RQ4 在尊重非对易性的局域实在论中，CHSH关联函数的正确上界是什么？
• RQ5 贝尔实验实际排除的是局域实在论，还是期望值的可加性？

主要发现

• 冯·诺依曼定理与贝尔定理中的疏漏在于：在隐变量理论中不恰当地假设了期望值的可加性。
• 对于非对易可观测量，在隐变量理论中，总和的期望值不等于各期望值之和，即使这些理论是局域且实在的。
• 当正确考虑非对易性时，局域实在的隐变量理论中CHSH关联函数的界为$\pm 2\sqrt{2}$，而非$\pm 2$。
• 标准贝尔不等式推导的失败，是因为其假设了$\langle \mathcal{X} \rangle = \sum a_i \langle \mathcal{O}_i \rangle$，而该关系在隐变量模型中对非对易算符不成立。
• 贝尔实验并未排除局域实在论，而是排除了期望值的可加性，而该假设在一般隐变量理论中并不成立。
• 总和算符的本征值$\mathscr{X}$在一般情况下并非各本征值的线性函数，仅当所有算符彼此对易时，才退化为线性组合$a\mathscr{R} + b\mathscr{S} + c\mathscr{T} + d\mathscr{U}$。