[论文解读] $p$-adic Beilinson conjecture for ordinary Hecke motives associated to imaginary quadratic fields

Kenichi Bannai, Guido Kings|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了关于类数为一的虚二次域上普通Hecke动机的$p$-进Beilinson猜想，利用$p$-进Eisenstein级数与测度，确立了非临界点处$p$-进L-函数的插值性质。关键结果在$p \geq 5$为普通素数时，确认了对$\psi^a$的猜想，通过包含$\Gamma$-因子与复周期的精确公式，将$p$-进L-值与正规化子联系起来。

ABSTRACT

The purpose of this article is to give an overview of the series of papers [BK1], [BK2] concerning the $p$-adic Beilinson conjecture of motives associated to Hecke characters of an imaginary quadratic field $K$, for a prime $p$ which splits in $K$.

研究动机与目标

• 证明类数为一的虚二次域上普通Hecke动机的$p$-进Beilinson猜想。
• 为椭圆曲线具有复乘的Grossencharacter $\psi$ 的$\psi^a$，建立$p$-进L-函数在非临界点的插值性质。
• 构造一个在$\mathbb{Z}_p^\times$上的$p$-进测度（或伪测度），使其插值$\psi^a$的L-函数的临界值。
• 在$p \geq 5$为普通且在$K$中不相容的假设下，验证$p$-进L-值与正规化子及复周期之间的猜想公式。

提出的方法

• 作者利用$p$-进Eisenstein级数，通过模形式理论与伽罗瓦作用，在$\mathbb{Z}_p^\times \times \mathbb{Z}_p^\times$上构造测度$\mu_{\varphi_a}$。
• 当导子$\mathfrak{f}_a = (1)$时，通过将测度$\mu^{\prime a}$除以归一化因子$\mu^a_N$，定义了$\mathbb{Z}_p^\times$上的伪测度$\mu^a$。
• $p$-进L-函数定义为积分$L_p(\psi^a \otimes \chi_{\text{cyc}}^n) = \int_{\mathbb{Z}_p^\times} w^n \mu^a(w)$，该积分在非临界点处插值$L(\psi^a, n)$的值。
• $p$-进周期$\Omega_p(n)$通过$p$-进Eisenstein级数与模曲线上的Frobenius作用计算得出，从而与正规化子建立联系。
• Frobenius算子与模曲线几何之间的相容性确保了$p$-进L-函数的正确插值。
• 证明依赖于$p$-进正规化子映射为单射，以及在$\mathbb{R}$上Beilinson正规化子已知为满射这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过$p$-进Eisenstein级数构造的$p$-进L-函数是否在非临界点处插值$\psi^a$的L-函数的临界值？
• RQ2 能否在类数为一的虚二次域上验证普通Hecke动机的$p$-进Beilinson猜想？
• RQ3 $p$-进L-函数如何与复周期$\Omega_\infty(n)$及$p$-进正规化子相关联？
• RQ4 在$\Gamma$-因子、复周期与$p$-进测度的表达下，$p$-进L-值的精确公式是什么？
• RQ5 当导子$\mathfrak{f}_a = (1)$时，$p$-进测度的插值性质如何受到影响？

主要发现

• 当$p \geq 5$为普通素数且在$K$中不相容，且$p$-进正规化子映射为单射的假设下，$\psi^a$的$p$-进Beilinson猜想得以证明。
• $p$-进L-函数$L_p(\psi^a \otimes \chi_{\text{cyc}}^n)$由积分$\int_{\mathbb{Z}_p^\times} w^n \mu^a(w)$给出，其中$\mu^a$是通过$p$-进Eisenstein级数构造的伪测度。
• 公式$\frac{L_p(\psi^a \otimes \chi_{\text{cyc}}^n)}{\Omega_p(n)} = \left(1 - \frac{\psi(\mathfrak{p})^a}{p^n}\right)\left(1 - \frac{\overline{\psi}(\mathfrak{p}^*)^a}{p^{a+1-n}}\right)\frac{\Gamma(n)L(\psi^a, n)}{\Omega_\infty(n)}$对所有整数$n > a$成立。
• 当$\mathfrak{f}_a \neq (1)$时，测度$\mu^a$为真正的$p$-进测度；当$\mathfrak{f}_a = (1)$时，需通过$\mu^a_N$进行归一化以消除发散因子。
• $p$-进周期$\Omega_p(n)$计算为$\frac{(-1)^{a-n+1}}{\Gamma(n)} \Omega^a_\mathfrak{p} E_{n,a-n,\varphi_a}(E,\omega,\nu)$，从而将$p$-进周期与复周期联系起来。
• $\widetilde{\mu}_{\varphi_a}$测度的插值性质与Katz和Yager构造的双变量$p$-进L-函数一致，确认了与已知构造的一致性。