[论文解读] p-adic deformation of graph cycles

Xuanyu Pan|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了代数簇自同构的 $p$-进变形理论，证明若一个自同构在上同调上作用为霍奇型算子，且该簇满足无穷小托里elli定理，则该自同构可唯一地提升为关于威特环的形式自同构。关键结果通过晶体上同调将经典变形理论推广至 $p$-进设定，并提供了自同构群作用在上同调上忠实性的判别准则。

ABSTRACT

In this paper, we show that the infinitesimal Torelli theorem implies the existence of deformations of automorphisms. In the first part, we use Hodge theory and deformation theory to study the deformations of automorphisms of complex projective manifolds. In the second part, we use crystalline cohomology to explore the p-adic analogues of the first part, which generalizes a result of Berthelot and Ogus. The study of the deformations of automorphisms also provides criterions characterizing when the action of the automorphism group of a variety on its cohomology is faithful.

研究动机与目标

• 通过晶体上同调将自同构的经典变形理论从复数域推广至 $p$-进设定。
• 基于其在上同调上的作用，建立在 $W(k)$ 上提升自同构的判别准则。
• 将贝尔托勒与奥古斯关于 $p$-进变形的结果推广至簇的自同构。
• 为自同构群在 $\ell$-进上同调与晶体上同调上的作用忠实性提供上同调判别准则。
• 将上同调中霍奇滤子的保持与自同构的全局 $p$-进变形的存在性联系起来。

提出的方法

• 使用晶体上同调研究自同构的 $p$-进变形，以替代复数情形下的德拉姆上同调。
• 通过霍奇滤子与德拉姆上同调和晶体上同调之间的比较同构构造障碍映射。
• 应用格罗滕迪克存在性定理，将 $\widehat{X}$ 上的形式自同构提升为 $W(k)$ 上的代数自同构。
• 将映射 $\rho(g_n)_q$ 识别为 $\mathrm{H}^1(X_0, g_0^*T_{X_0/k}) \otimes_k (\pi^{n+1})$ 中障碍类的一个分量。
• 利用映射 $\widehat{\Psi}_n$ 的单射性，推导出当霍奇滤子被保持时障碍消失。
• 利用 $\mathrm{H}_{\mathrm{cris}}^m(g_0)$ 保持霍奇滤子的事实，得出 $\rho(g_n)_q = 0$，因此 $ob(g_n) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个定义在正特征完美域上的簇的自同构能提升为威特环 $W(k)$ 上的自同构？
• RQ2 晶体上同调上霍奇滤子的保持与自同构的 $p$-进变形存在性之间有何关系？
• RQ3 无穷小托里elli定理能否用于确保 $p$-进设定下自同构的变形？
• RQ4 何种上同调判别准则可保证自同构群在 $\ell$-进或晶体上同调上的作用是忠实的？
• RQ5 自同构阶的有限性如何与 $p$-进提升及上同调平凡性相互作用？

主要发现

• 若一个定义在正特征完美域 $k$ 上的簇 $X_0$ 的自同构 $g_0$ 满足 $\mathrm{H}_{\mathrm{cris}}^m(g_0)$ 保持霍奇滤子，且 $X_0$ 满足 $m$ 次无穷小托里elli定理，则 $g_0$ 可提升为 $W(k)$ 上的自同构。
• 当诱导的上同调映射保持霍奇滤子时，$g_n$ 模 $W_{n+1}$ 的提升障碍恰好消失，这由 $\rho(g_n)_q$ 的消失所表明。
• 形式自同构 $\lim_{\leftarrow} g_n$ 在形式概形 $\widehat{X}$ 上的出现，是通过格罗滕迪克存在性定理由 $W(k)$ 上唯一的代数自同构实现的。
• 若 $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(g_0, \mathbb{Q}_l) = \mathrm{Id}$ 对 $l \neq \mathrm{char}(k)$ 成立，则 $g_0$ 可提升为 $W(k)$ 上的自同构，尤其当 $g_0$ 有限阶时成立。
• 若 $\mathrm{Aut}(X_0)$ 在 $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(X_0, \mathbb{Q}_l)$ 上的作用忠实，则其在 $X_K$ 的一般纤维上 $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(X_K, \mathbb{Q}_l)$ 上的作用也忠实，前提是满足提升条件。
• 本结果通过将霍奇型条件作为提升判别准则，将贝尔托勒与奥古斯关于 $p$-进变形的工作从循环推广至自同构。