[论文解读] p-Adic distribution of CM points and Hecke orbits. II: Linnik equidistribution on the supersingular locus

Sebastián Herrero, Ricardo Menares+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文建立了复数域上椭圆曲线CM点的Linnik等分布定理在ℂ_p上的p进数类比，证明在特定条件下，超奇异点集中的CM点在p进球面上均匀分布。通过形变理论与模形式傅里叶系数的界，本文识别出所有具有有界p进判别式范数的CM点序列的极限测度，揭示了此类测度有无穷多个——与复数情形不同——这是由于p进设置中对称性破缺所致。

ABSTRACT

For a prime number $p$, we study the asymptotic distribution of CM points on the moduli space of elliptic curves over $\mathbb{C}_p$. In stark contrast to the complex case, in the $p$-adic setting there are infinitely many different measures describing the asymptotic distribution of CM points. In this paper we identify all of these measures. A key insight is to translate this problem into a $p$-adic version of Linnik's classical problem on the asymptotic distribution of integer points on spheres. To do this translation, we use the close relationship between the deformation theories of elliptic curves and formal modules and then apply results of Gross and Hopkins. We solve this $p$-adic Linnik problem using a deviation estimate extracted from the bounds for the Fourier coefficients of cuspidal modular forms of Deligne, Iwaniec and Duke. We also identify all accumulation measures of an arbitrary Hecke orbit.

研究动机与目标

• 描述在ℂ_p上椭圆曲线模空间中CM点的渐近分布，特别是其在超奇异点集中的分布。
• 识别所有具有远离零的p进判别式范数的CM点序列的极限测度。
• 建立Linnik经典整数点在球面上等分布问题在p进数域中的类比。
• 将等分布结果推广至Hecke轨道，并应用于算术问题，如证明奇异模为S-单位的有限性。
• 解决在固定p进二次扩张中基本判别式的情形，此时由于类数理论对称性破缺，可能出现两个极限测度。

提出的方法

• 通过椭圆曲线与形式模的形变理论，将p进分布问题转化为p进Linnik问题，将CM点与p进球面上的整数点关联。
• 利用Gross-Hopkins理论，将CM点嵌入p进四元数代数的三维子空间中，将其建模为p进球面上的格点。
• 应用由Deligne、Iwaniec与Duke对尖点模形式傅里叶系数所得界推导出的偏差估计，以控制等分布误差项。
• 通过分类p进判别式及其对应二次扩张，刻画所有CM点的极限测度。
• 通过约化至p进Linnik问题并使用相同的解析工具，证明部分Hecke轨道的等分布性。
• 利用类理论解释例外情形：当p是基本判别式唯一的素因子时，出现两个极限测度，源于类理论对称性破缺。

实验结果

研究问题

• RQ1 当ℂ_p上椭圆曲线模空间的超奇异点集中，CM点的p进判别式范数有正下界时，其极限测度是什么？
• RQ2 p进数域中CM点的分布与复数情形有何不同？在复数情形中，等分布已被证明成立。
• RQ3 Linnik在整数点于球面上等分布定理的p进类比是什么？如何将其应用于CM点？
• RQ4 为何在固定p进二次扩张中，基本判别式固定而导子变化时，会出现两个不同的极限测度？
• RQ5 如何将CM点的等分布结果推广至p进数域中的Hecke轨道？

主要发现

• 与复数情形中唯一的极限测度不同，在ℂ_p上CM点概率测度序列存在无穷多个不同的极限测度。
• 对于具有固定p进二次扩张中判别式且p进范数有下界的CM点序列，其测度收敛于超奇异点集上的均匀测度，除非处于一个特殊情形，此时存在两个极限测度。
• 出现两个极限测度的例外情形精确发生于基本判别式仅被p整除时，此时类理论引发对称性破缺现象。
• 通过Deligne、Iwaniec与Duke对尖点模形式傅里叶系数的界所导出的偏差估计，建立了p进Linnik等分布定理。
• 所有任意Hecke轨道的极限测度均被识别，通过相同的p进球面模型，将等分布结果推广至Hecke轨道情形。
• 本研究结果被应用于证明：对任意有限素数集S，仅有有限多个奇异模为S-单位，从而推广了Habegger的结果。