[论文解读] $p$-adic families of diagonal cycles

Henri Darmon, Víctor Rotger|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文从模曲线塔的三重积上的对角循环构造了一个三变量上同调类族，证明了一条互惠律，将三重积 p 进 L 函数实现为这些类在 Perrin-Riou 的 Λ-Adic 上同调算子下的像。该构造插值了广义 Kato 类，并推广了关于 Hida 家族与 p 进 L 函数的先前工作。

ABSTRACT

This note provides the construction of a three-variable family of cohomology classes arising from diagonal cycles on a triple product of towers of modular curves, and proves a reciprocity law relating it to the three variable triple-product $p$-adic $L$-function associated to a triple of Hida families by means of Perrin-Riou's $Λ$-adic regulator.

研究动机与目标

• 从模曲线塔的三重积上的对角循环构造一个三变量上同调类族。
• 建立一个互惠律，将这些上同调类与与三个 Hida 家族相关的三重积 p 进 L 函数联系起来。
• 通过使用扭曲对角嵌入将参数空间扩展至三维，推广先前的一维族构造。
• 证明该族在更高权和晶体点处的特殊化插值了 [DR14] 中定义的广义 Kato 类。
• 利用 Perrin-Riou 的 Λ-Adic 上同调算子，为三重积 p 进 L 函数提供一个上同调解释。

提出的方法

• 通过 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-轨道的原始行三元组在 $(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})^2$ 中的扭曲对角嵌入，为 $X_r^3$（其中 $X_r = X_1(Mp^r)$）构造循环族，参数化空间为 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-轨道的原始行三元组。
• 通过这些循环定义一个相容的伽罗瓦上同调类系统，这些类被整合为三个权空间副本上的全局 $\Lambda$-Adic 上同调类。
• 利用 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$ 在参数空间上的作用，将循环构造与 Hida 家族及 p 进模形式联系起来。
• 应用 Perrin-Riou 的 $\Lambda$-Adic 上同调算子，将 $\Lambda$-Adic 上同调类映射到三重积 p 进 L 函数。
• 分析在更高权和晶体点处的特殊化，证明其与 [DR14] 中的广义 Kato 类相容。
• 运用 Dieudonné 模和 $\Lambda$-Adic 伽罗瓦表示理论，处理上同调数据的 p 进插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从模曲线三重积上的对角循环构造一个三变量上同调类族？
• RQ2 这些上同调类在更高权和晶体情形下如何特殊化为已知类（如广义 Kato 类）？
• RQ3 是否存在一个精确的互惠律，通过 $\Lambda$-Adic 上同调算子将该族与三重积 p 进 L 函数联系起来？
• RQ4 为何先前 [DR17] 中的一维构造无法捕捉完整的二维参数空间？本研究如何解决这一局限？
• RQ5 对角循环在多大程度上为三重积设定下 $\Lambda$-Adic 上同调类的现有构造提供了互补视角？

主要发现

• 本文从 $X_r^3$ 上的对角循环构造了一个三变量上同调类族，参数化空间为 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-轨道的原始行三元组。
• 证明该上同调类族在更高权和晶体点处的特殊化插值了 [DR14] 中定义的广义 Kato 类。
• 建立了互惠律，证明三重积 p 进 L 函数是 $\Lambda$-Adic 上同调类在 Perrin-Riou 上同调算子下的像。
• 该构造通过实现二维参数空间，解决了先前工作的维数限制，纠正了 [DR17] 中的一维限制。
• 通过证明 $\Lambda$-Adic 上同调算子作用于上同调类可得到 p 进 L 函数（至多一个包含 Euler 因子和归一化项的因子），从而验证了互惠律。
• 该结果为三重积 p 进 L 函数提供了上同调实现，将 Euler 系和 Stark-Heegner 点的框架推广至更高秩情形。