[论文解读] $p$-adic Gross-Zagier formula at critical slope and a conjecture of Perrin-Riou

Kâzım Büyükboduk, Robert Pollack+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 12

一句话总结

该论文在 $p$ 分裂的虚二次域背景下，为 $p$-普通新形式 $f$ 的临界斜率 $p$-稳定化形式建立了 $p$-进 Gross–Zagier 公式。通过 $`\mathscr{A}`$-进族与 Nekovář 的 $p$-进高度配对，作者在临界斜率下证明了 $p$-进 Gross–Zagier 公式，验证了 Perrin-Riou 在椭圆曲线分析秩为一情形下的猜想。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Given an imaginary quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-D_K})$ where $p$ splits with $D_K>3$, and a $p$-ordinary newform $f \in S_k(Γ_0(N))$ such that $N$ verifies the Heegner hypothesis relative to $K$, we prove a $p$-adic Gross-Zagier formula for the critical slope $p$-stabilization of $f$ (assuming that it is non-$θ$-critical). In the particular case when $f=f_A$ is the newform of weight $2$ associated to an elliptic curve $A$ that has good ordinary reduction at $p$, this allows us to verify a conjecture of Perrin-Riou. The $p$-adic Gross-Zagier formula we prove has applications also towards the Birch and Swinnerton-Dyer formula for elliptic curves of analytic rank one.

研究动机与目标

• 为在 $p$ 分裂的虚二次域背景下，$p$-普通新形式 $f$ 的临界斜率 $p$-稳定化形式建立 $p$-进 Gross–Zagier 公式。
• 验证 Perrin-Riou 关于椭圆曲线分析秩为一情形下 $p$-进高度配对与 $p$-进 $L$-函数的猜想。
• 在不假设半稳定性的前提下，证明椭圆曲线的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式中的 $p$-部分。
• 在分析秩为一的假设下，利用与 $f_A$ 相关的两个 $p$-进 $L$-函数，构造 $A(\mathbb{Q})$ 中一个无限阶点。

提出的方法

• 作者利用 $(\varphi,\Gamma_{\text{cyc}})$-模与 Coleman 族上的 Selmer 复形，构建了 $\mathscr{A}$-进圆周高度配对。
• 他们在 $p$-进族中定义了普遍 Heegner 点，并通过显式互惠定律将其与 Beilinson-Kato 类联系起来。
• 该方法依赖于 $p$-进 $L$-函数的插值以及使用 Perrin-Riou 的大对数映射，将 $p$-进 $L$-值与 $p$-进高度联系起来。
• 证明使用了 $p$-进 $L$-函数的分解，以及 Nekovář 的 $p$-进高度与椭圆曲线上 $p$-进高度的比较。
• 关键的技术工具是 $\mathscr{A}$-进 Gross–Zagier 公式，它将 $p$-进 $L$-函数的导数与 Heegner 点的 $p$-进高度联系起来。
• 作者推导出一个公式，将 $p$-进 $L$-函数的导数与 Nekovář 高度配对以及 Beilinson-Kato 类的对数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $p$ 分裂的虚二次域背景下，$p$-普通新形式的临界斜率 $p$-稳定化形式是否成立 $p$-进 Gross–Zagier 公式？
• RQ2 Perrin-Riou 关于 $p$-进高度配对非退化的猜想是否可在分析秩为一的椭圆曲线上得到验证？
• RQ3 在不假设半稳定性的前提下，Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式中的 $p$-部分是否成立？
• RQ4 在分析秩为一的假设下，能否从与 $f_A$ 相关的两个 $p$-进 $L$-函数显式构造出 $A(\mathbb{Q})$ 中的无限阶点？
• RQ5 在临界斜率下，$p$-进 $L$-函数的导数与 Nekovář $p$-进高度配对之间的精确关系是什么？

主要发现

• 该论文在非 $\theta$-临界条件下，证明了 $p$-普通新形式 $f$ 的临界斜率 $p$-稳定化形式 $f^\beta$ 的 $p$-进 Gross–Zagier 公式。
• 对于分析秩为一的椭圆曲线 $A$，至少存在一个 $\lambda \in \{\alpha,\beta\}$ 使得 $p$-进高度配对 $h_{\lambda,\mathbb{Q}}^{\rm Nek}$ 非退化，从而验证了 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式的一个关键要素。
• 验证了 Perrin-Riou 的猜想：$p$-进高度配对是非退化的，且 $p$-进 $L$-函数的导数等于 Beilinson-Kato 类的 $p$-进高度。
• 在分析秩为一的假设下，该论文利用与 $f_A$ 相关的两个 $p$-进 $L$-函数，构造了 $A(\mathbb{Q})$ 中一个无限阶点。
• 建立了公式 $L_{p,\lambda}'(f,1) = (1 - \frac{1}{\lambda})^2 c(f) h_{\lambda,\mathbb{Q}}^{\rm Nek}(P_f, P_f)$，将 $p$-进 $L$-函数的导数与 Nekovář 高度配对联系起来。
• 有理倍乘因子 $d(f)$ 满足 $d(f) = d^2 c(f)$，且 Nekovář 高度与 Beilinson-Kato 类对数之比被证明与 $-(1 - 1/\alpha)(1 - 1/\beta)$ 成正比。