[论文解读] $p$-Adic multidimensional wavelets and their application to $p$-adic pseudo-differential operators

Andrei Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich|ArXiv.org|Dec 15, 2006

advanced mathematical theories参考文献 26被引用 25

一句话总结

本文引入了一类新的n维p进紧支集小波，其为Kozyrev的一维p进小波的推广。这些小波在$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $中构成标准正交完备基，并为Taibleson分数阶算子及其他p进伪微分算子的本征函数，为求解p进分析中的线性和半线性方程提供了强大工具。

ABSTRACT

In this paper we study some problems related with the theory of multidimensional $p$-adic wavelets in connection with the theory of multidimensional $p$-adic pseudo-differential operators (in the $p$-adic Lizorkin space). We introduce a new class of $n$-dimensional $p$-adic compactly supported wavelets. In one-dimensional case this class includes the Kozyrev $p$-adic wavelets. These wavelets (and their Fourier transforms) form an orthonormal complete basis in ${\cL}^2(\bQ_p^n)$. A criterion for a multidimensional $p$-adic wavelet to be an eigenfunction for a pseudo-differential operator is derived. We prove that these wavelets are eigenfunctions of the Taibleson fractional operator. Since many $p$-adic models use pseudo-differential operators (fractional operator), these results can be intensively used in applications. Moreover, $p$-adic wavelets are used to construct solutions of linear and {\it semi-linear} pseudo-differential equations.

研究动机与目标

• 将Kozyrev的一维p进小波推广至高维，并构造一类新的n维p进紧支集小波。
• 证明这些小波在$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $中构成标准正交完备基。
• 推导此类小波成为p进伪微分算子本征函数的判别准则。
• 证明这些小波是Taibleson分数阶算子的本征函数，后者是p进模型中的关键算子。
• 将小波框架应用于构造线性和半线性p进伪微分方程的解。

提出的方法

• 作者将n维p进小波$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)}(x) $定义为一维Kozyrev小波的乘积，以确保紧支集和正交性。
• 他们使用$ \mathbb{Q}_p^n $上的傅里叶变换，应用公式$ F[\chi_p(x_k s_k)\Omega(|x_k|_p)](\xi) = \Omega(|\xi_k + s_k|_p) $，分析小波与符号的行为。
• 通过$ F[\Theta_{\gamma sa}^{(m)}](\xi) = p^{n\gamma/2} \chi_p(p^{-\gamma}a \cdot \xi) \Omega(|s + p^{-\gamma}\xi|_p) $计算小波的傅里叶变换，建立小波与其频域表示之间的联系。
• 推导出本征函数性质的判别准则：若伪微分算子$ A $的符号为$ \mathcal{A}(\xi) $，则$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $为其本征函数当且仅当$ \mathcal{A}(-p^\gamma s) = \lambda $，其中$ \lambda $为本征值。
• 在逆傅里叶变换中应用变量替换$ \xi = p^\gamma(\eta - s) $，推导出本征值方程。
• 将该理论应用于Taibleson算子$ D^\beta_x $，其符号$ |\xi|_p^\beta $满足本征函数条件，从而确认$ D^\beta_x \Theta_{\gamma sa}^{(m)} = p^{\beta(\max\{m_k\} - \gamma)} \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一类新的n维p进紧支集小波，使其推广一维Kozyrev小波？
• RQ2 这些小波是否在$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $中构成标准正交完备基？
• RQ3 在何种条件下，p进伪微分算子可保证此类小波为其本征函数？
• RQ4 Taibleson分数阶算子是否属于此类小波为其本征函数的算子类？
• RQ5 能否利用这些小波构造线性和半线性p进伪微分方程的解？

主要发现

• n维p进小波$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)}(x) $在$ L^2(\mathbb{Q}_p^n) $中构成标准正交完备基，推广了Kozyrev的一维小波。
• 伪微分算子$ A $（其符号为$ \mathcal{A}(\xi) $）以$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $为本征函数的充要条件是$ \mathcal{A}(-p^\gamma s) = \lambda $，其中$ \lambda $为本征值。
• Taibleson分数阶算子$ D^\beta_x $（其符号为$ |\xi|_p^\beta $）作用于$ \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $时表现为标量倍数，得到$ D^\beta_x \Theta_{\gamma sa}^{(m)} = p^{\beta(\max\{m_1,\dots,m_n\} - \gamma)} \Theta_{\gamma sa}^{(m)} $。
• 本征值依赖于缩放参数$ \gamma $、维度$ n $以及$ m_k $的最大值，反映了小波的自相似结构。
• 小波满足$ \int_{\mathbb{Q}_p^n} \Theta_{\gamma sa}^{(m)}(x) \, dx = 0 $，确保其属于p进Lizorkin空间$ \Phi(\mathbb{Q}_p^n) $，该空间在分数阶算子下保持不变。
• 该框架使得利用小波基构造线性和半线性p进伪微分方程的解成为可能。