[论文解读] p-adic path set fractals

William C. Abram, Jeffrey C. Lagarias|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

advanced mathematical theories被引用 1

一句话总结

本文引入了一类在 Z_p 中定义的 p 进分形集，这些集合通过图自相似构造中的有限自动机路径定义，证明了它们在 p 进加法、p-整数有理数乘法以及 Minkowski 和下封闭——这些结果完全是 p 进的，且在实数上不成立。此外，本文还建立了其 Hausdorff 维数的可计算公式。

ABSTRACT

This paper considers a class C(Z_p) of closed sets of the p-adic integers obtained by graph-directed constructions analogous to those of Mauldin and Williams over the real numbers. These sets are characterized as collections of those p-adic integers whose p-adic expansions are describeed by paths in the graph of a finite automaton issuing from a distinguished initial vertex. This paper shows that this class of sets is closed under the arithmetic operations of addition and multiplication by p-integral rational numbers. In addition the Minkowski sum (under p-adic addition) of two set in the class is shown to also belong to this class. These results represent purely p-adic phenomena in that analogous closure properties do not hold over the real numbers. We also show the existence of computable formulas for the Hausdorff dimensions of such sets.

研究动机与目标

• 通过图自相似构造和有限自动机构造 p 进整数的闭子集类，并对其进行表征。
• 研究这些集合在 p 进算术运算下的封闭性质，特别是加法和 p-整数有理数乘法。
• 证明两个此类集合的 Minkowski 和也属于同一类，这是 p 进设定下独有的性质。
• 建立这些分形集 Hausdorff 维数的可计算公式。
• 通过表明类似封闭结果在实数上不成立，突出 p 进与实数类比之间的差异。

提出的方法

• 将 p 进分形构造为 p 进整数的集合，其展开式遵循从初始顶点出发的有限自动机路径。
• 应用类似于 Mauldin 和 Williams 的图自相似构造技术，但针对 p 进拓扑进行了调整。
• 利用 p 进整数及其展开式的结构，通过自动机理论约束定义分形集。
• 应用 p 进算术运算（加法、p-整数有理数乘法）分析封闭性质。
• 运用拓扑与测度论工具，基于自动机的结构推导 Hausdorff 维数的公式。
• 将结果与实数类比进行比较，以强调封闭现象的纯粹 p 进性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 p 进整数的子集可以被描述为所有从固定初始状态出发在有限自动机中路径展开的 p 进整数的集合？
• RQ2 这些集合在 p 进加法和 p-整数有理数乘法下是否封闭？
• RQ3 两个此类集合的 Minkowski 和是否也属于同一类？
• RQ4 能否基于自动机结构建立此类集合 Hausdorff 维数的可计算公式？
• RQ5 为何这些封闭性质在实数设定下不成立，从而凸显其纯粹 p 进现象的特征？

主要发现

• p 进路径集分形类在 p 进加法下封闭。
• 该类在 p-整数有理数乘法下封闭。
• 该类中任意两个集合的 Minkowski 和也属于该类。
• 这些封闭性质在实数上对应的集合中不成立，从而确立了纯粹 p 进现象。
• 此类集合的 Hausdorff 维数存在可计算公式，且其公式可由自动机的结构导出。
• 维度公式可从定义该有限自动机的转移结构显式构造得出。