[论文解读] p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets

A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich+1 more|ArXiv.org|Nov 18, 2007

advanced mathematical theories被引用 14

一句话总结

本文提出了一种在多分辨率分析（MRA）框架内，利用p进可缩函数构造正交p进小波基的一般方法。它建立了一类生成MRA的p进可缩方程，并通过酉矩阵扩展的构造过程，导出正交小波，从而得到一个新的3进小波基，并将已知的p进Haar小波作为特例恢复出来。

ABSTRACT

We described a wide class of $p$-adic refinable equations generating $p$-adic multiresolution analysis. A method for the construction of $p$-adic orthogonal wavelet bases within the framework of the MRA theory is suggested. A realization of this method is illustrated by an example, which gives a new 3-adic wavelet basis. Another realization leads to the $p$-adic Haar bases which were known before.

研究动机与目标

• 开发基于可缩方程的p进多分辨率分析（MRA）的一般理论。
• 在p进设置下，提供系统化构造正交小波基的方法。
• 克服p进MRA理论面临不可逾越障碍的先前假设。
• 展示新p进小波基的构造，包括一个新颖的3进小波示例。

提出的方法

• 本文定义了一类形式为 $\phi(x) = \sum_{r=0}^{p-1} \phi\left(\frac{1}{p}x - \frac{r}{p}\right)$ 的p进可缩方程，用于生成MRA的尺度函数。
• 它利用傅里叶变换和掩码函数 $m_0(\xi)$ 在频域表征可缩方程。
• 小波函数 $\psi^{(\nu)}$ 作为尺度函数 $\phi$ 的缩放和平移副本的线性组合构造，其系数为 $\gamma_{\nu k}$。
• 通过要求由向量 $B$ 和 $G_\nu$ 构成的特定矩阵 $U$ 为酉矩阵，来强制实现正交性条件。
• 该构造依赖于通过选择合适的小波系数向量 $G_\nu$，将向量 $B$（来自掩码）扩展为酉矩阵 $U$。
• 该方法应用于两种情形：$s=1$（恢复Kozyrev的小波）和 $s=2$，$p=3$（构造一个新的3进小波基）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一类生成多分辨率分析的通用p进可缩方程？
• RQ2 能否在MRA框架下，系统化地构造p进设置中的正交小波基？
• RQ3 如何将酉扩展原理适配到p进语境中以实现小波构造？
• RQ4 从非Haar可缩函数导出的p进小波基的显式形式是什么？
• RQ5 能否在已知的Haar型基之外构造新的p进小波系统？

主要发现

• 通过使用特定掩码 $m_0(z)$（次数为8）的非Haar可缩函数，显式构造了一个新的3进正交小波基。
• 小波函数 $\psi^{(1)}$ 和 $\psi^{(2)}$ 在半径为 $1/3$ 和 $1$ 的p进球上为分段常数表达式，具体值为：$\psi^{(1)} = -\sqrt{3/2}$ 在 $|x|_p \leq 1/3$ 上，$\sqrt{3/2}$ 在 $|x-1|_p \leq 1/3$ 上，其余位置为0；$\psi^{(2)} = -1/\sqrt{2}$ 在 $|x|_p \leq 1/3$ 和 $|x-1|_p \leq 1/3$ 上，$\sqrt{2}$ 在 $|x-2|_p \leq 1/3$ 上。
• 当掩码对应于均匀分布 $m_0(\xi) = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} \chi_p(k\xi)$ 时，该构造恢复了已知的p进Haar小波。
• 通过要求扩展矩阵 $U$ 为酉矩阵，该方法确保了小波系统的正交性，该条件通过显式向量构造得到验证。
• 3进情形下的尺度函数 $\phi$ 为分段常数，其值为：$-1/3$ 在 $|x|_p \leq 1/3$ 上，$2/3$ 在 $|x-1/3|_p \leq 1$ 和 $|x-2/3|_p \leq 1$ 上，其余位置为0。
• 该框架将经典的MRA方法推广到p进分析，表明尽管先前存在怀疑，p进MRA是可行的。