[论文解读] $P$-alcoves, parabolic subalgebras and cocenters of affine Hecke algebras

Xuhua He, Sian Nie|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文利用 $P$-交错元建立了仿射 Hecke 代数余中心的 Bernstein 表示，证明当 $w$ 为 $P$-交错元时，$T_w$ 在余中心中的像属于抛物子代数 $\mathcal{H}_J$。进一步，本文证明了仿射 Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 与其抛物子代数之间关于特征多项式的比较定理，类比于 Hodge-Newton 分解，并利用该结果给出了仿射 Deligne-Lusztig 簇空性模式的全新代数证明。

ABSTRACT

This is a continuation of the sequence of papers \cite{HN2}, \cite{H99} in the study of the cocenters and class polynomials of affine Hecke algebras $\ch$ and their relation to affine Deligne-Lusztig varieties. Let $w$ be a $P$-alcove element, as introduced in \cite{GHKR} and \cite{GHN}. In this paper, we study the image of $T_w$ in the cocenter of $\ch$. In the process, we obtain a Bernstein presentation of the cocenter of $\ch$. We also obtain a comparison theorem among the class polynomials of $\ch$ and of its parabolic subalgebras, which is analogous to the Hodge-Newton decomposition theorem for affine Deligne-Lusztig varieties. As a consequence, we present a new proof of \cite{GHKR} and \cite{GHN} on the emptiness pattern of affine Deligne-Lusztig varieties.

研究动机与目标

• 利用 $P$-交错元建立仿射 Hecke 代数余中心的 Bernstein 表示。
• 将完整仿射 Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 的特征多项式与它的抛物子代数 $\mathcal{H}_J$ 的特征多项式联系起来。
• 通过余中心结构与特征多项式，给出仿射 Deligne-Lusztig 簇空性模式的代数证明，该结果此前通过几何方法建立。
• 阐明 $P$-交错元在控制 $\mathcal{H}$ 中 $T_w$ 模换位子代数的像时所起的作用。

提出的方法

• 使用 $\mathcal{H}$ 的 Iwahori-Matsumoto 表示，并定义余中心 $\bar{\mathcal{H}} = \mathcal{H}/[\mathcal{H},\mathcal{H}]$。
• 刻画 $P$-交错元 $w$ 时 $T_w$ 在 $\bar{\mathcal{H}}$ 中的像，证明 $T_w \in \mathcal{H}_J + [\mathcal{H},\mathcal{H}]$。
• 建立 $\mathcal{H}$ 中的特征多项式 $f_{\tilde{w},\mathcal{O}}$ 与 $\mathcal{H}_J$ 中的 $f^{J}_{z\tilde{w}z^{-1},\mathcal{O}'}$ 之间的比较，证明 $f_{\tilde{w},\mathcal{O}} = \sum_{\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}} f^{J}_{z\tilde{w}z^{-1},\mathcal{O}'}$。
• 将比较定理应用于仿射 Deligne-Lusztig 簇的维数公式，将特征多项式与 Newton 及 Kottwitz 不变量联系起来。
• 通过长度的归纳法以及 $\tilde{W}_J$-共轭类的性质，证明多项式比较定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用抛物子代数与 $P$-交错元来表示仿射 Hecke 代数的余中心？
• RQ2 完整代数 $\mathcal{H}$ 的特征多项式与它的抛物子代数 $\mathcal{H}_J$ 的特征多项式之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否通过余中心结构与特征多项式，代数地重新证明仿射 Deligne-Lusztig 簇的空性模式？
• RQ4 $P$-交错元在控制 $\mathcal{H}$ 中 $T_w$ 模抛物子代数的像时，其作用程度如何？

主要发现

• 当 $w$ 为类型 $J$ 的 $P$-交错元时，$T_w$ 在余中心 $\bar{\mathcal{H}}$ 中的像属于 $\mathcal{H}_J + [\mathcal{H},\mathcal{H}]$，从而给出了 $\bar{\mathcal{H}}$ 的 Bernstein 表示。
• 对于 $\tilde{W}$ 的任意共轭类 $\mathcal{O}$，若其最小长度代表元 $w_{\mathcal{O}}$ 在 $\tilde{W}_J$ 中为椭圆元，则 $\bar{\mathcal{H}}$ 中的像 $T_{w_{\mathcal{O}}}$ 模 $[\mathcal{H},\mathcal{H}]$ 等于某个 $y \in \mathcal{O} \cap \tilde{W}_J$ 的 $T^{J}_y$，其中 $y$ 是其 $\tilde{W}_J$-共轭类中最小长度元。
• $\tilde{w} \in \mathcal{H}$ 的特征多项式 $f_{\tilde{w},\mathcal{O}}$ 等于所有满足 $\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}$ 的 $\tilde{W}_J$-共轭类 $\mathcal{O}'$ 上的特征多项式 $f^{J}_{z\tilde{w}z^{-1},\mathcal{O}'}$ 之和，从而建立了比较定理。
• 仿射 Deligne-Lusztig 簇 $X_{\tilde{w}}(b)$ 的维数公式可表示为特征多项式次数与 Newton 及 Kottwitz 不变量的函数。
• $X_{\tilde{w}}(b)$ 的空性模式由条件 $\kappa_J(z\tilde{w}\delta z^{-1}) = \kappa_J(b)$ 决定，该结论通过特征多项式比较得到代数证明。
• 该结果为仿射 Deligne-Lusztig 簇的空性定理提供了全新的代数证明，此前该定理由涉及 Moy-Prasad 滤子的几何方法建立。