[论文解读] p-cyclic persistent homology and Hofer distance

Jun Zhang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文证明了当 $g \geq 4$ 且 $p$ 足够大时，在 $\Sigma_g \times M$ 上，时变哈密顿微分同胚与 $p$ 次幂哈密顿微分同胚之间的霍弗距离可以任意大。通过在弗洛尔理论框架下结合群作用使用 $p$-循环持久同调与奇异值分解，作者将波尔特维奇和舍鲁欣的结果推广，证明了 $\text{power}_p(\Sigma_g \times M) = \infty$，这意味着 $\text{aut}(\Sigma_g \times M) = \infty$，支持了所有闭合辛流形满足 $\text{aut}(X) = \infty$ 的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the result from L. Polterovich and E. Shelukhin's paper stating that Hofer distance from time-dependent Hamiltonian diffeomorphism to the set of p-th power Hamiltonian diffeomorphism can be arbitrarily large to hold in the product structure $Σ_g imes M$ for any closed symplectic manifold $M$ when $p$ is sufficiently large and $g \geq 4$. This implies that, on this product, Hofer distance can be arbitrarily large between time-dependent Hamiltonian diffeomorphism and autonomous Hamiltonian diffeomorphism.The basic tool we use is barcode and singular value decomposition that are developed in previous joint work with M. Usher, from which we borrow many proofs and modify them so that it can be adapted to the situation that filtered chain complex equipped with a group action.

研究动机与目标

• 将波尔特维奇和舍鲁欣在哈密顿动力学中关于霍弗距离的结果推广到更广泛的辛流形类别。
• 证明当 $g \geq 4$ 且 $p$ 为足够大的素数时，$\text{power}_p(\Sigma_g \times M) = \infty$，从而推出 $\text{aut}(\Sigma_g \times M) = \infty$。
• 在具有群作用的弗洛尔理论框架下，发展并应用 $p$-循环持久同调技术，推广先前的方法。
• 利用条形码重数与奇异值分解构建同调障碍，以检测非平凡的霍弗距离。

提出的方法

• 通过环路旋转构造弗洛尔复形上的 $p$-循环作用，从而在链层面上诱导出 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-作用。
• 应用 $p$-循环奇异值分解，分析该群作用下过滤弗洛尔复形的结构。
• 利用 $p$ 重幂映射的映射锥的条形码分解，提取与霍弗距离相关的不变量。
• 利用 $\Sigma_g \times M$ 上条形码的乘积结构，将乘积的条形码与各因子的条形码关联起来。
• 使用二项式系数与巴拜奇定理，计算乘积复形条形码中有限长度条形的重数。
• 分析条形码重数模 $p$ 的可除性，以检测霍弗距离的非平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $g \geq 4$ 时，时变哈密顿微分同胚与 $p$ 次幂哈密顿微分同胚之间的霍弗距离是否可在 $\Sigma_g \times M$ 上任意大？
• RQ2 $p$-循环持久同调框架是否为哈密顿群中 $p$ 次根的存在性提供了稳健的障碍？
• RQ3 在 $p$ 重幂映射与群作用下，弗洛尔复形的条形码结构如何变换？
• RQ4 蛋 whisk 模型在计算 $g \geq 4$ 时 $\Sigma_g$ 的条形码不变量中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，乘积复形中度为 1 的条形重数不被 $p$ 整除，从而暗示非平凡的霍弗距离？

主要发现

• 当 $g \geq 4$ 且足够大的素数 $p$ 时，霍弗距离 $\text{power}_p(\Sigma_g \times M)$ 为无穷大，推广了波尔特维奇与舍鲁欣的结果。
• 乘积复形 $\Sigma_g \times M$ 的条形码中，度为 1 的有限长度条形的重数为 $\sum_{k=-p+1}^{p+1} \binom{2p}{k+p-1} \cdot qb_{1-k}(M)$，当 $p > 2\sum_{0 \leq i \leq 2n} b_i(M)$ 时，该重数不被 $p$ 整除。
• 重数求和中的中间项 $\binom{2p}{p} \cdot qb_0(M)$ 满足 $\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p}$，在模 $p$ 下贡献一个非零项。
• 当 $M = \mathbb{C}P^n$ 时，重数模 $p$ 为 $2$，因此对所有素数 $p \geq 3$，非可除性成立，从而推出 $\text{power}_p(\Sigma_g \times \mathbb{C}P^n) = \infty$。
• 当 $c_1(TM) = 0$ 时，重数模 $p$ 为 $b_p(M) + 2$，因此若 $p \nmid b_p(M) + 2$，则非可除性成立，从而提供了一个更精细的障碍条件。
• 通过奇异值分解构造的 $p$-循环持久同调允许对哈密顿群中 $p$ 次根的存在性建立同调障碍，从而支持了霍弗距离无界的证明。