[论文解读] P-Divisors of Cox Rings

Klaus Altmann, Jarek Wisniewski|ArXiv.org|Nov 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了Mori梦想空间（MDS）的Cox环的多面体除子（p-除子）描述，将其环的环作用与稳定基点簇及渐近重数的几何联系起来。通过在Chow商上将Cox环表示为p-除子，证明了多面体系数编码了除子的稳定重数，从而为基点簇提供了凸几何实现，并通过移动除子与GIT商构造了从有效锥到内幅锥的收缩映射。

ABSTRACT

The Cox ring of a so-called Mori Dream Space (MDS) is finitely generated and it is graded over the divisor class group. Hence the spectrum of the Cox ring comes with an action of an algebraic torus whose GIT quotient is the variety in question. We present the associated description of this Cox ring as a polyhedral divisor. Via the shape of its polyhedral coefficients, it connects the equivariant structure of the Cox ring with the world of stable loci and stable multiplicities of linear systems.

研究动机与目标

• 通过p-除子的形式语言，为Mori梦想空间（MDS）的Cox环提供几何描述。
• 将Cox环谱的等变结构与MDS上线性系统在稳定基点簇及稳定重数之间的关系联系起来。
• 证明Cox环的p-除子编码了曲面上的Zariski分解，并通过移动除子与GIT商推广至高维MDS。
• 建立一个凸几何框架，通过从类群到Chow商除子类群的扇形线性映射，理解MDS的有效锥与内幅锥。

提出的方法

• 将Q-因子化投影MDS的Cox环表示为在Chow商Y上的p-除子，利用Spec(Cox(Z))上的环作用。
• 将p-除子定义为∑∆i ⊗ Di，其中∆i为特征格尾锥中的多面体系数，Di为例外除子。
• 将多面体系数∆i刻画为{C ∈ Cl∗(Z)Q | C ≥ −multst_Di} + shift，将其与除子的稳定重数联系起来。
• 通过p-除子映射与除子类映射的复合，将有效锥Eff(Z)与Chow商的内幅锥Nef(Y)联系起来。
• 将该形式语言应用于环与曲面情形，证明在del Pezzo曲面上，p-除子实现了正交Zariski分解。
• 利用对偶多面体与扇形线性函数重述结果，尤其在环情形下，并通过移动锥的收缩将结果推广至高维MDS。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用p-除子语言与环作用描述Mori梦想空间的Cox环？
• RQ2 Cox环的p-除子中多面体系数的几何意义是什么？其与稳定基点簇及渐近重数的关系如何？
• RQ3 p-除子结构如何反映曲面上（尤其是del Pezzo曲面）的Zariski分解？
• RQ4 通过p-除子映射，MDS的有效锥与Chow商的内幅锥之间存在何种关系？
• RQ5 在变形下（如P²上两个无穷近点的爆破），p-除子系数如何变化？

主要发现

• Mori梦想空间的Cox环的p-除子仅在有限多个例外除子上非零，其多面体系数∆i = {C ∈ Cl∗(Z)Q | C ≥ −multst_Di} + shift，编码了稳定重数。
• 在del Pezzo曲面S上，Cox(S)的p-除子为D = id_Cl(S) + ∑(0·Ei + Nef(S)) ⊗ Ei，反映了正交Zariski分解。
• 对于del Pezzo曲面，p-除子实现了从有效锥到内幅锥的收缩，且在Zariski房间上为线性映射。
• 在曲面情形下，Chow商Y与曲面S重合，因此p-除子通过有效除子上的线性收缩直接描述了Zariski分解。
• 对于非环曲面（如P²上两个无穷近点的爆破），p-除子系数为非平凡多面体（例如∆_E1 = conv{0, ½[E1], [E1]+[E2]}），表现出非正交行为。
• 在变形下，有效锥上半连续（Eff(S2) ⊃ Eff(S1)），而移动锥与内幅锥下半连续（Mov(S2) ⊂ Mov(S1)），如两个爆破点的情形所示。