[论文解读] P-functor versions of the Nakajima operators

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 9

一句话总结

该论文在光滑拟射影曲面的点的 Hilbert 模丛的导出范畴上构造了 $π^{n-1}$-函子 $H_{\ell,n}$，利用导出 McKay 对应将 Nakajima 的上同调算子提升为范畴自同构。关键贡献在于，这些自同构在 K3 曲面和 Kummer 四倍体的 Hilbert 平方的导出范畴中满足一个普遍的 braid 关系。

ABSTRACT

For every smooth quasi-projective surface X we construct a series of P^{n-1}-functors H_{l,n}: D(X x X^[l]) --> D(X^[n+l]) between the derived categories of the Hilbert schemes of points for n>max{l,1} using the derived McKay correspondence. They can be considered as analogues of the Nakajima operators. The functors also restrict to P^{n-1}-functors on the generalised Kummer varieties. We also study the induced autoequivalences and obtain, for example, a universal braid relation in the groups of derived autoequivalences of Hilbert squares of K3 surfaces and Kummer fourfolds.

研究动机与目标

• 将 Nakajima 的上同调算子扩展为曲面点的 Hilbert 模丛导出范畴中的范畴 $π^{n-1}$-函子。
• 通过导出 McKay 对应实现 Nakajima 算子的范畴提升。
• 研究这些函子诱导的自同构及其在 K3 曲面和 Kummer 四倍体的 Hilbert 平方导出范畴中的 braid 群关系。
• 猜想这些函子在 canonical bundle 为 ample 或 anti-ample 的曲面上生成完整的导出自同构群。

提出的方法

• 构造 $H_{\ell,n} : \operatorname{D}^b(X \times X^{[\ell]}) \to \operatorname{D}^b(X^{[n+\ell]})$ 为平凡化、部分对角嵌入和 $\mathfrak{S}_{n+\ell}$-等变范畴上的上拉的复合。
• 利用导出 McKay 对应 $\Phi : \operatorname{D}^b(X^{[n]}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ 将函子与等变几何联系起来。
• 识别 $H_{\ell,n}$ 的 $\mathbb{P}$-余扭为 $\bar{S}_X^{-[0,n-1]} = \operatorname{id} \oplus \bar{S}_X^{-1} \oplus \cdots \oplus \bar{S}_X^{-(n-1)}$，其中 $\bar{S}_X = (\cdot) \otimes \omega_X^{-1}[-2]$。
• 将 $\mathbb{P}$-扭 $T_{\ell,n}$ 定义为余单位映射 $H_{\ell,n}H_{\ell,n}^R \oplus \mathsf{M}_a H_{\ell,n}H_{\ell,n}^R \mathsf{M}_a \to \operatorname{id}$ 的锥，从而在 $\operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_{n+\ell}}(X^{n+\ell})$ 上诱导出一个自同构。
• 将该构造应用于广义 Kummer 算子，证明函子在阿贝尔曲面 $A$ 的 $K_n A$ 上限制为 $\mathbb{P}^{n-1}$-函子，并推导出 braid 群关系。
• 利用 Hilbert-Chow 满射和等变层理论分析 $T_{\ell,n}$ 在 $X^m_{\nu(k)}$ 上的 strata 的 $\bar{\mathbb{C}}(x)$ 上的行动。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nakajima 的上同调算子能否在曲面点的 Hilbert 模丛导出范畴中被提升为范畴 $\mathbb{P}^{n-1}$-函子？
• RQ2 这些 $\mathbb{P}^{n-1}$-函子诱导的自同构的结构是什么？它们与 braid 群关系有何关联？
• RQ3 这些函子是否在 canonical bundle 为 ample 或 anti-ample 的曲面上生成 $\operatorname{D}^b(X^{[m]})$ 的完整导出自同构群？
• RQ4 这些 $\mathbb{P}$-扭在 Hilbert 模丛的 strata 上如何作用，特别是对对称积上的 skyscraper sheaves？

主要发现

• 当 $n > \ell$ 且 $n > 1$ 时，函子 $H_{\ell,n}$ 是 $\mathbb{P}^{n-1}$-函子，通过导出 McKay 对应和上拉函子构造而成。
• $H_{\ell,n}$ 的 $\mathbb{P}$-余扭为 $\bar{S}_X^{-[0,n-1]} = \operatorname{id} \oplus \bar{S}_X^{-1} \oplus \cdots \oplus \bar{S}_X^{-(n-1)}$，其中 $\bar{S}_X = (\cdot) \otimes \omega_X^{-1}[-2]$。
• 诱导的 $\mathbb{P}$-扭 $T_{\ell,n}$ 在 $x \in X^{n+\ell}_{\nu(n)}$ 上作用为 $[-(n-2)]$ 的平移，在 $\bar{X}^{n+\ell}_{\nu(n)}$ 上平凡，推广了引理 5.3。
• 当 $m=2,3$ 时，论文猜想由标准自同构和 $\mathbb{P}$-扭生成的群 $\operatorname{Aut}^{st+H}(\operatorname{D}^b(X^{[m]}))$ 等于 $\omega_X$ 为 ample 或 anti-ample 时的完整自同构群。
• 自同构 $t_{m-2,2}$，定义为 $\Phi^{-1} \mathsf{M}_a \Phi \mathsf{M}_{\mathcal{O}(D/2)}$，在 $x \in X^m_{\nu(2)}$ 上作用为 $[-1]$ 的平移，在其他地方平凡。
• 该构造可推广至广义 Kummer 算子，其中函子在阿贝尔曲面 $A$ 的 $K_n A$ 上限制为 $\mathbb{P}^{n-1}$-函子，从而在导出自同构群中产生一个普遍的 braid 关系。