[论文解读] $p$-Laplacian problems involving critical Hardy-Sobolev exponents

Kanishka Perera, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文针对临界 Hardy-Sobolev指数的 $p$-Laplacian 方程，建立了存在性、多重性及分岔结果，重点关注具有挑战性的情形 $\lambda \geq \lambda_1$。通过采用上同调指标与伪指标理论替代标准的特征值分解，证明了在新条件下非平凡解的存在性，包括当 $N < p^2$ 时，扩展了以往仅限于 $\lambda < \lambda_1$ 的结果。其主要贡献在于提出了一种新颖的变分方法，克服了 $p$-Laplacian 算子缺乏线性结构的困难。

ABSTRACT

We prove existence, multiplicity, and bifurcation results for $p$-Laplacian problems involving critical Hardy-Sobolev exponents. Our results are mainly for the case $λ\ge λ_1$ and extend results in the literature for $0 &lt; λ&lt; λ_1$. In the absence of a direct sum decomposition, we use critical point theorems based on a cohomological index and a related pseudo-index.

研究动机与目标

• 在 $\lambda \geq \lambda_1$ 的情形下，建立涉及临界 Hardy-Sobolev 指数的 $p$-Laplacian 问题的解的存在性与多重性，该情形在以往研究中未被充分覆盖。
• 克服由于非线性 $p$-Laplacian 导致能量泛函缺乏直接直和分解的问题，从而使得基于线性特征空间的古典链接定理失效。
• 在先前已知条件 $N \geq p^2$ 的基础上进一步扩展存在性结果，特别证明了在 $N < p^2$ 时，于新的谱与几何约束下解的存在性。
• 通过在特征值 $\lambda_k$ 附近构造低于紧性阈值的极小极大水平，分析解在 $\lambda$ 从下方趋近 $\lambda_k$ 时的行为，证明解列收敛于零，从而确立从 $\lambda_k$ 出发的分岔现象。

提出的方法

• 基于 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 上单位球面上的泛函 $\Psi(u) = \left(\int_\Omega |u|^p\,dx\right)^{-1}$，采用基于上同调指标与伪指标的框架，替代传统的基于亏格的特征值序列。
• 通过受 Perera 与 Szulkin 启发的 $\Psi$ 的下水平集构造非标准链接，结合临界点理论，处理 $p$-Laplacian 算子缺乏线性结构的问题。
• 利用 Hardy-Sobolev 不等式中的最佳常数 $\mu_s$，定义紧性阈值 $c^* = \frac{p-s}{(N-s)p}\mu_s^{(N-s)/(p-s)}$，在此阈值以下，$(\text{PS})_c$ 条件成立。
• 通过引入涉及 $v_{\varepsilon,\delta}$ 的测试函数构造，估计 $I_\lambda$ 在适当集合上的下确界，证明极小极大水平位于紧性阈值之下。
• 应用定理 2.5（基于上同调指标与伪指标的临界点定理），当 $\lambda$ 位于 $\lambda_{k+1}$ 附近的分岔区间内时，获得 $m$ 组不同的非平凡解对 $\pm u_j^\lambda$。
• 依赖不等式 $\int_\Omega |u|^p\,dx \leq V_s(\Omega)^{(p-s)/(N-s)} \left(\int_\Omega \frac{|u|^{p^*}}{|x|^s}\,dx\right)^{p/p^*}$，以在 Hardy-Sobolev 半范数下控制 $L^p$-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将临界 Hardy-Sobolev 指数的 $p$-Laplacian 问题的存在性与多重性结果扩展至 $\lambda \geq \lambda_1$ 的情形，此时山路几何不成立？
• RQ2 当 $p$-Laplacian 缺乏线性特征子空间时，临界点理论应如何调整，以避免依赖于经典链接定理？
• RQ3 在 $N < p^2$ 的情形下，对 $N$、$p$、$s$ 和 $\lambda$ 的哪些新条件可确保非平凡解的存在？此情形此前结果未覆盖。
• RQ4 解集在特征值 $\lambda_k$ 附近的行为如何？能否在 $\lambda \nearrow \lambda_k$ 时，建立从 $\lambda_k$ 出发的分岔，并实现解列的定量收敛于零？
• RQ5 上同调指标与伪指标框架是否可用于在谱间隙存在时构造多组非平凡解？

主要发现

• 当 $N \geq p^2$ 且 $\lambda < \lambda_1$ 时，问题存在正的基态解，将先前结果扩展至 $\lambda < \lambda_1$ 的完整范围。
• 当 $\lambda > \lambda_1$ 且 $\lambda$ 不是特征值时，若 $N > p^2$ 且 $(N-p^2)(N-s) > (p-s)p$，则问题存在非平凡解；该条件仅在 $s$ 较小时允许 $N < p^2$。
• 当 $\lambda$ 位于区间 $\lambda_{k+1} - \frac{\mu_s}{V_s(\Omega)^{(p-s)/(N-s)}} < \lambda < \lambda_{k+1}$ 内时，问题存在 $m$ 组不同的非平凡解对 $\pm u_j^\lambda$，且满足 $u_j^\lambda \to 0$ 当 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$，从而证明了从 $\lambda_{k+1}$ 出发的分岔。
• 解满足 $I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ 当 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$，且 $u_j^\lambda$ 的 $L^p$-范数也趋于零，表明在 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中强收敛于零。
• 本文证明了即使在 $N < p^2$ 时，只要满足条件 $(N-p^2)(N-s) > (p-s)p$，仍存在非平凡解，这是此前文献未涵盖的新结果。
• 紧性阈值 $c^* = \frac{p-s}{(N-s)p}\mu_s^{(N-s)/(p-s)}$ 确保了在此阈值以下 $(\text{PS})_c$ 条件成立，且所有构造的极小极大水平严格低于该阈值，从而保证了 Palais-Smale 序列的收敛性。