[论文解读] P = NP: Linear programming formulation of the traveling salesman problem

Moustapha Diaby|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2006

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于网络流方法的多项式规模线性规划公式，用于解决旅行商问题（TSP）。其主要贡献在于提出了一种紧凑且精确的线性规划模型，高效地捕捉了TSP的约束条件，若该公式被证明有效且在实践中可解，则为在多项式时间内求解TSP提供了潜在路径。

ABSTRACT

In this paper, we present a polynomial-sized linear programming formulation of the Traveling Salesman Problem (TSP). The proposed linear program is a network flow-based model. Numerical implementation issues and results are discussed. (The exposition and proofs are much more detailed in an edition which I wrote in collaboration with Dr. M.H. Karwan in 2012-2014 . That edition is available at this http URL)

研究动机与目标

• 开发一种多项式规模的线性规划，精确建模旅行商问题。
• 提供一种基于网络流的公式，以减少变量和约束的数量，同时捕捉TSP的约束条件。
• 展示所提公式的数值可行性及实现注意事项。
• 为通过TSP的可计算线性规划公式证明P = NP奠定基础。

提出的方法

• 该公式利用网络流结构，将TSP环游建模为有向图中的可行流。
• 引入边的二值变量和流变量，以表示路径遍历，确保连通性和环游约束。
• 通过基于流的约束而非指数级不等式族来强制执行子环消除。
• 该公式相对于城市数量设计为多项式规模，避免了指数级约束集合。
• 数值实现侧重于使用标准求解器求解线性规划，同时关注条件性和可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 TSP能否在不依赖指数级约束数量的前提下，被表述为多项式规模的线性规划？
• RQ2 基于网络流的公式是否能在保持紧凑性的同时，捕捉所有TSP环游约束？
• RQ3 所提公式在使用标准LP求解器时是否具有数值稳定性并可在实际中求解？
• RQ4 若该公式在正确且可在多项式时间内求解的前提下，能否作为证明P = NP的基础？

主要发现

• 所提线性规划的规模相对于TSP实例中的城市数量为多项式规模。
• 该公式利用网络流结构，隐式地强制执行子环消除和连通性。
• 通过将子环消除约束嵌入基于流的约束中，模型避免了对指数级子环消除约束的需求。
• 数值结果表明，该公式可实现且可使用标准线性规划求解器求解，尽管其全面可扩展性仍有待验证。