[论文解读] $p$-Operator Spaces and Figá-Talamanca-Herz Algebras

Matthew Daws|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用 34

一句话总结

本文引入了一种基于 $L_p$ 结构和 $p$-完全有界映射的新框架，用于 $p$-算子空间，表明在该框架下，Figà-Talamanca-Herz 代数 $A_p(G)$ 成为一个压缩的量化巴拿赫代数。关键结果是：当且仅当局部紧群 $G$ 是可约群时，$A_p(G)$ 作为 $p$-算子空间代数是可约的，从而将 Ruan 的算子空间方法推广至 $L_p$-基傅里叶代数。

ABSTRACT

We study a generalisation of operator spaces modelled on $L_p$ spaces, instead of Hilbert spaces, using the notion of $p$-complete boundedness, as studied by Pisier and Le Merdy. We show that the Figá-Talamanca-Herz Algebras $A_p(G)$ becomes quantised Banach algebras in this framework, and that the cohomological notion of amenability of these algebras corresponds to amenability of the locally compact group $G$. We thus argue that we have presented a generalised of the use of operator spaces in studying the Fourier algebra $A(G)$, in the spirit of Ruan. Finally, we show that various notions of multipliers of $A_p(G)$ (including Herz's generalisation of the Fourier-Stieltjes algebra) naturally fit into this framework.

研究动机与目标

• 将 Ruan 的算子空间方法从傅里叶代数 $A(G)$ 推广至基于 $L_p$ 的 Figà-Talamanca-Herz 代数 $A_p(G)$。
• 基于 Pisier 和 Le Merdy 的工作，利用 $p$-完全有界性，为 $A_p(G)$ 定义自然的 $p$-算子空间结构。
• 建立 $A_p(G)$ 作为 $p$-算子空间代数的可约性与底层群 $G$ 的可约性完全对应。
• 表明 $A_p(G)$ 的各类乘子代数，包括 Herz 对傅里叶-施蒂尔杰斯代数的推广，自然地嵌入此 $p$-算子空间框架之中。

提出的方法

• 采用 Pisier 和 Le Merdy 提出的 $p$-完全有界性概念，定义 $p$-算子空间，将算子空间从 $L_2$ 推广至 $L_p$。
• 通过将 $A_p(G)$ 视为基于 $L_p$ 的 $SQ_p$-空间上的表示的系数泛函，为其赋予 $p$-算子空间结构。
• 利用 $p$-算子空间的项目张量积，定义张量积 $A_p(G) \hat{\otimes} A_p(H)$，并证明其同构于 $A_p(G \times H)$。
• 刻画 $A_p(G)$ 的 $p$-完全有界乘子，并将其与 Herz 的 $B_p(G)$ 关联，尤其在可约情形下。
• 应用上同调技术，在 $p$-算子空间设定下定义并分析 $A_p(G)$ 的可约性。
• 采用 Runde 的 $B_p(G)$ 构造作为 $A_p(G)$ 的乘子代数，并证明当 $G$ 可约时，$\mathcal{M}_{cb}(A_p(G)) = B_p(G)$ 等距同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为 $p$-算子空间代数的 $A_p(G)$ 的可约性是否与群 $G$ 的可约性完全一致？
• RQ2 在 $p$-算子空间设定下，乘子代数 $\mathcal{M}_{cb}(A_p(G))$ 是否能自然地与 Herz 的 $B_p(G)$ 识别？
• RQ3 与以往的 $A_p(G)$ 算子空间结构相比，$A_p(G)$ 上的 $p$-算子空间结构在压缩性和自然性方面有何差异？
• RQ4 该 $p$-算子空间框架在多大程度上将 $A(G)$ 的对偶性和张量积性质推广至 $A_p(G)$？
• RQ5 $A_p(G)$ 上的 $p$-算子空间结构是否为内在结构且独立于特定表示，还是依赖于 $L_p$ 表示中的选择？

主要发现

• 与以往仅给出有界乘积的方法不同，$A_p(G)$ 上的 $p$-算子空间结构是压缩的。
• 在此 $p$-算子空间框架下，代数 $A_p(G)$ 成为一个压缩的量化巴拿赫代数。
• 作为 $p$-算子空间代数的 $A_p(G)$ 的可约性当且仅当群 $G$ 是可约群。
• 当 $G$ 可约时，$p$-完全有界乘子代数 $\mathcal{M}_{cb}(A_p(G))$ 等距同构于 $B_p(G)$，即 Herz 对傅里叶-施蒂尔杰斯代数的推广。
• $A_p(G) \hat{\otimes} A_p(H)$ 与 $A_p(G \times H)$ 等距同构，将 $A(G)$ 的一个关键性质推广至 $A_p(G)$ 情形。
• 该框架自然地融入了 Herz 的乘子理论，表明 $A_p(G)$ 与其乘子代数之间存在更深层次的结构相容性。