[论文解读] p-Riesz bases in quasi shift invariant spaces

Laura De Carli, Pierluigi Vellucci|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了在何种条件下，准平移不变空间 $ V^p(\beta_m; X) $ 中的 $ p $-Riesz 基在平移集 $ X $ 的小扰动下保持稳定。证明表明，若 $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ 且 $ \{\tau_{x_j}\psi\} $ 是一个 $ p $-Riesz 基，则小平移 $ |x_j - y_j| < \delta_j $ 会保持基的性质。关键结果是：对于 $ 1 < p < \infty $ 的 $ L^p $-型准平移不变空间中的 $ p $-Riesz 基，给出了局部稳定性定理，扩展了已知的 $ p=2 $ 和带限函数的结果。

ABSTRACT

Let $ 1\leq p&lt; \infty$ and let $ψ\in L^{p}(\R^d)$. We study $p-$Riesz bases of quasi shift invariant spaces $V^p(ψ;Y)$.

研究动机与目标

• 研究在平移集 $ X $ 的小扰动下，准平移不变空间 $ V^p(\psi; X) $ 中 $ p $-Riesz 基的稳定性。
• 确定当 $ Y $ 是 $ X $ 的小扰动时，$ \{\tau_{y_j}\psi\} $ 在 $ V^p(\psi; Y) $ 中仍为 $ p $-Riesz 基的充分条件。
• 将已知的 $ p=2 $ 和带限函数结果推广至 $ 1 < p < \infty $ 且 $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ 的情形。
• 分析当平移集 $ X $ 不是相对分离时，$ p $-Riesz 基的行为，允许 $ \delta_j $ 按索引变化。
• 探讨在 $ L^p $-空间中 $ 0 < p < 1 $ 时 $ p $-Riesz 基稳定性的含义，受小波理论的启发。

提出的方法

• 作者利用 Sobolev 空间正则性 $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ 来控制小平移下平移函数的变化。
• 应用 Minkowski 不等式和 H"older 不等式来估计平移函数之间差值的 $ L^p $-范数。
• 关键估计涉及对 $ \left\| \sum_k \alpha_k (\operatorname{rect}(t-k) - \operatorname{rect}(t - y_k)) \right\|_p \leq 2^p L $ 的控制，其中 $ L = \sup_k |x_k - y_k| $。
• 证明依赖于引理 11，该引理提供了具有紧支集函数的平移差值的 $ L^p $-范数的上界。
• 他们使用对偶性和插值技术，特别是针对 $ p \in (1, \infty) $，将 $ \ell^p $-系数与 $ L^p $-函数范数联系起来。
• 分析中还使用了傅里叶分析和混合空间，特别是 $ W(L^\infty, \ell^q) $，以控制 $ \hat{\psi} $ 的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ V^p(\psi; X) $ 中的 $ p $-Riesz 基 $ \{\tau_{x_j}\psi\} $ 在 $ y_j \approx x_j $ 的小扰动后仍保持为 $ p $-Riesz 基？
• RQ2 当 $ X $ 不是相对分离时，是否可以保证 $ \delta_j \to 0 $ 时 $ p $-Riesz 基的稳定性？
• RQ3 Sobolev 正则性 $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ 在确保 $ p $-Riesz 基的局部稳定性中起什么作用？
• RQ4 已知的 $ p=2 $ 和带限 $ \psi $ 的稳定性结果如何推广至 $ 1 < p < \infty $ 的情形？
• RQ5 是否存在某些条件，使得 $ V^q(\psi; X) $ 中的 $ q $-Riesz 基可推出 $ V^p(\psi; X) $ 中的 $ p $-Riesz 基（$ p \neq q $）？

主要发现

• 对于 $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ 且 $ 1 < p < \infty $，若 $ \{\tau_{x_j}\psi\} $ 是 $ V^p(\psi; X) $ 中的 $ p $-Riesz 基，则存在 $ \delta_j > 0 $，使得当 $ |x_j - y_j| < \delta_j $ 时，$ \{\tau_{y_j}\psi\} $ 在 $ V^p(\psi; Y) $ 中仍为 $ p $-Riesz 基。
• 稳定性是逐指标局部的：$ \delta_j $ 不一定存在下界，但只要每个扰动足够小，基的性质仍能保持。
• 对于 $ p=2 $，若 $ \psi \in L^1 \cap L^2 $ 且 $ \sum_{k \in \mathbb{Z}^d} \inf_{x \in [0,1)^d} |\hat{\psi}(x+k)|^2 > 0 $，则在 $ X $ 的弱条件下，$ \{\tau_{x_j}\psi\} $ 是 $ V^2(\psi; X) $ 中的 Riesz 基。
• 推导出不等式 $ \|f\|_p^p \leq 2^p L J \|g\|_{p'}^p $，表明小的 $ L $ 可确保平移函数之间差值的 $ L^p $-范数较小。
• 当 $ \psi = \beta_m $（$ m $ 阶 B-样条）且 $ L < 2^{-p} A_p(m) $ 时，集合 $ \{\tau_{y_k}\beta_m\} $ 是 $ V^p(\psi; Y) $ 中的 $ p $-Riesz 基。
• 本文指出，将结果推广至 $ 0 < p < 1 $ 是一个开放问题，可能与 $ 0 < p < 1 $ 时 $ L^p $ 空间中的小波理论相关。