[论文解读] $p$-stabilization in higher dimension

Pascal Boyer|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过在完备上同调中进行 $p$-稳定化，建立了 Kottwitz-Harris-Taylor 型 Shimura 簇上相同权的退化与非退化自守表示之间的新自守同余。通过允许在 $l$ 处提升水平，构造了模 $l$ 的弱同余、非退化表示，将 Ribet 型同余推广至高秩李群，并为 Selmer 群中非分裂伽罗瓦扩张提供了上同调机制。

ABSTRACT

Using $l$-adic completed cohomology in the context of Shimura varieties of Kottwitz-Harris-Taylor type attached to some fixed similitude group $G$, we prove, allowing to increase the levet at $l$, some new automorphic congruences between any degenerate automorphic representation with a non degenerate one of the same weight.

研究动机与目标

• 将 Ribet 的模形式同余方法推广至使用完备上同调的高秩半单群。
• 在模 $l$ 下构造相同权的弱同余自守表示，其中一个是退化的，另一个是非退化的。
• 通过 $p$-稳定化为 Selmer 群中非分裂伽罗瓦扩张提供上同调机制。
• 将上同调中挠类的理论扩展至允许在 $l$ 处提升水平，类比于普通 $p$-稳定化。
• 在具有符号 $(1,d-1), (0,d), \dots, (0,d)$ 的相似群 $G$ 的背景下，建立一种相对且灵活的自守同余构造框架。

提出的方法

• 利用与相似群 $G$ 相关的 Kottwitz-Harris-Taylor Shimura 簇的 $l$-进完备上同调。
• 应用 perverse 紫膜理论与分解定理，分析在不同截断水平 $t$ 下的上同调群 $H^i_{I^l,\xi}(t)_{\mathfrak{m}}$。
• 使用谱序列以及由层的正合列导出的长正合列，关联不同水平下的上同调群。
• 利用局部系统 $\mathcal{F}_\xi(\mathds{1}_v,t)$ 及其中间扩张 $^p j^{=t}_{!*}$ 的结构，分析挠与可除性。
• 通过 Emerton 的完备上同调实现局部-整体相容性原理，检测自守表示之间的同余。
• 依赖于假设 $H^i_{I^l,\xi}(h)_{\mathfrak{m}}$ 对所有 $h \geq s_0$ 自由，并从 $H^1_{I^l,\xi}(*,s_0-1)_{\mathfrak{m}}$ 中的挠性导出矛盾，以证明上同调的非平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过完备上同调在高秩情形下构造相同权的退化与非退化表示之间的自守同余？
• RQ2 在 $l$ 处提升水平如何实现此类同余，类比于经典模形式中的 $p$-稳定化？
• RQ3 Harris-Taylor perverse 紫膜上同调中的挠在实现非分裂伽罗瓦扩张中起什么作用？
• RQ4 该方法能否产生具有受控退化深度与水平结构的弱同余表示？
• RQ5 是否存在一个上同调判别准则，确保在实现模 $l$ 同余的同时，$l$ 处的水平保持不变（即 $I'_l = I_l$）？

主要发现

• 本文证明了存在一个与给定退化表示 $\Pi$ 同一权 $\xi$ 的非退化自守表示 $\Pi'$，且模 $l$ 下弱同余。
• $\Pi'$ 的退化深度恰好为 1，且其水平为 $I'$，满足 $(I')^l = I^l$，即 $l$ 处的水平保持不变。
• 该构造依赖于 $H^0_{I^l,\xi}(s_0)_{\mathfrak{m}}$ 的非零性以及 $H^1_{I^l,\xi}(*,s_0-1)_{\mathfrak{m}}$ 的非平凡挠性，若挠性为平凡则导致矛盾。
• 关键矛盾源于假设 $H^i_{I^l,\xi}(h)_{\mathfrak{m}}$ 对所有 $h \geq s_0$ 自由，这将导致在仿射簇上出现非平凡挠性，违反上同调消去性。
• 该结果可解释为 $p$-稳定化的高维类比，其中 Eisenstein 系数在提升水平后变为尖点形式。
• 该方法通过 $\Pi$ 的 $L$-函数特殊值，为非分裂伽罗瓦模扩张提供了上同调实现，并使其位于适当的 Selmer 群中。