[论文解读] P-Tensors, P$_0$-Tensors, and Tensor Complementarity Problem

Weiyang Ding, Ziyan Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用 18

一句话总结

本文为偶数阶与奇数阶张量提出了 P-张量和 P₀-张量的统一定义，将经典的 P-矩阵概念推广至高阶张量。证明了具有 P-张量的张量互补问题（TCP）具有非空且紧致的解集，为 TCP 理论奠定了基础，并将正定张量、M-张量以及对角线元素为正的严格对角占优张量等关键张量类统一于 P-张量框架之下。

ABSTRACT

The concepts of P- and P$_0$-matrices are generalized to P- and P$_0$-tensors of even and odd orders via homogeneous formulae. Analog to the matrix case, our P-tensor definition encompasses many important classes of tensors such as the positive definite tensors, the nonsingular M-tensors, the nonsingular H-tensors with positive diagonal entries, the strictly diagonally dominant tensors with positive diagonal entries, etc. As even-order symmetric PSD tensors are exactly even-order symmetric P$_0$-tensors, our definition of P$_0$-tensors, to some extent, can be regarded as an extension of PSD tensors for the odd-order case. Along with the basic properties of P- and P$_0$-tensors, the relationship among P$_0$-tensors and other extensions of PSD tensors are then discussed for comparison. Many structured tensors are also shown to be P- and P$_0$-tensors. As a theoretical application, the P-tensor complementarity problem is discussed and shown to possess a nonempty and compact solution set.

研究动机与目标

• 通过适用于偶数阶与奇数阶张量的统一公式，将 P-矩阵概念推广至高阶张量。
• 以保持 P-矩阵关键性质的方式定义 P-张量与 P₀-张量，并将正定（PSD）张量推广至奇数阶情形。
• 证明具有 P-张量的张量互补问题（TCP）具有非空且紧致的解集，确保理论上的可解性。
• 刻画 P₀-张量与其他正定张量扩展形式（如共正张量、完全正张量及双非负张量）之间的关系。
• 证明若干重要结构化张量——如正定张量、M-张量、H-张量以及对角线元素为正的严格对角占优张量——均为 P-张量的特例。

提出的方法

• 通过条件提出 P-张量的统一定义：对任一非零 x ∈ ℝⁿ，存在某个指标 i，使得 xi(𝒜x^{m−1})_i > 0。
• 以类似方式定义 P₀-张量，使用弱不等式：对所有 i，有 xi(𝒜x^{m−1})_i ≥ 0，且至少存在一个 i 使得不等式严格成立。
• 利用映射 x ↦ 𝒜x^{m−1} 的齐次性，分析在 P-张量条件下张量互补问题（TCP）的解集。
• 应用不动点引理（引理 6.1）证明：当 𝒜 为 P-张量时，TCP(𝒜, q) 的解集非空且紧致。
• 通过证明存在 x > 0 使得 𝒜x^{m−1} > 0，表明 P-张量是 S-张量的一个真子类。
• 分析张量锥及其与其它特殊张量类（包括 PSD、共正、完全正张量）的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 P-矩阵概念能否以一种同时适用于偶数阶与奇数阶张量的方式推广至高阶张量？
• RQ2 具有 P-张量的张量互补问题（TCP）是否始终具有非空且紧致的解集？
• RQ3 P₀-张量与正定张量（PSD）的其他扩展形式（尤其是奇数阶情形）之间有何关系？
• RQ4 众所周知的结构化张量（如正定张量、M-张量、对角线元素为正的非奇异 H-张量、对角线元素为正的严格对角占优张量）是否均为 P-张量的特例？
• RQ5 P-张量能否用于通过高阶导数刻画多元函数的局部最优性？

主要发现

• 具有 P-张量的张量互补问题（TCP）具有非空且紧致的解集，对所有 q 均保证理论可解性。
• P-张量是 S-张量的一个真子类，因为每个 P-张量均存在一个严格正解向量 x > 0，使得 𝒜x^{m−1} > 0。
• 偶数阶对称正定张量（PSD）恰好是偶数阶对称 P₀-张量，通过 P₀-张量将 PSD 类推广至奇数阶情形。
• 许多重要的结构化张量——如正定张量、非奇异 M-张量、对角线元素为正的非奇异 H-张量，以及对角线元素为正的严格对角占优张量——均为 P-张量的特例。
• 若某 C³ 函数在某点处梯度与 Hessian 矩阵均为零，则其三阶导数张量为 P-张量，这意味着对任意小的 α > 0 和 d > 0，有 f(x + αd) > f(x) > f(x − αd)。
• P₀-张量将正定张量（PSD）概念推广至奇数阶张量，为奇数阶对称张量提供了自然的扩展。