[论文解读] $p$-th Clustering coefficients $C_{p}$ and Adjacent Matrix for Networks: Formulation based on String

Norihito Toyota|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Complex Network Analysis Techniques参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文使用邻接矩阵重新表述了青山的弦形式体系以用于网络聚类，通过R-矩阵形式体系引入广义的$q$-阶聚类系数。该方法可系统分析网络中的环状结构，并发现对于$γ = 2$的无标度网络，两度分离无法实现——相反，需要四度分离，该结果挑战了先前的研究结论，并通过标准网络模型的一致性检验验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

The phenomenon of six degrees of separation is an old but interesting problem. The considerations of the clustering coefficient reflecting triangular structures and its extension to square one to six degrees of separation have been made\cite{Newm21}. Recently, Aoyama\cite{Aoyama} has given some considerations to this problem in networks without loops, using a sort of general formalism, "string formalism". In this article, we describe relations between the string formulation proposed by Aoyama and an adjacent matrix. Thus we provided a reformulation of the string formulation proposed by \cite{Aoyama} to analyze networks. According to it, we introduced a series of generalized $q$-$th$ clustering coefficients. The available rules between diagrams of graphs and formulae are also given based on the formulation. Next we apply the formulation to some subjects in order to mainly check consistency with former studies. By evaluating the clustering coefficient for typical networks studied well earlier, we confirm a validity of our formulation. Lastly we applied it to the subject of two degrees of separation.

研究动机与目标

• 使用邻接矩阵重新表述青山的弦形式体系，以实现对网络结构的系统性分析。
• 引入广义的$q$-阶聚类系数，作为量化网络中环状复杂度的工具。
• 通过与已知网络模型及先前研究的对比，验证新形式体系的可靠性。
• 研究在不同度分布下，无标度网络中两度分离的可行性。
• 为未来对$p$-阶分离及其与网络拓扑和聚类关系的分析奠定基础。

提出的方法

• 引入由邻接矩阵$A$导出的$R$-矩阵，其编码了网络的连通性与环状结构。
• 利用$R^n$矩阵展开系统枚举长度为$n$的路径，每一项可解释为类似于费曼图的图示。
• 基于网络中$q$-环的数量定义广义的$q$-阶聚类系数，扩展标准聚类系数。
• 将该形式体系应用于具有不同度分布的随机网络、泊松网络、正态网络及无标度网络。
• 通过分析$M_p/N$及$A^p$中零元素的比例，评估$p$度分离下的连通性，以检验米尔格拉姆条件。
• 通过$R^n$各项的图示解释，为大$n$情况下的未来分析与计算策略提供投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用邻接矩阵重新表述弦形式体系，以实现对网络的系统性分析？
• RQ2 广义的$q$-阶聚类系数如何从$R$-矩阵形式体系中产生？其在表征环状结构中起什么作用？
• RQ3 该形式体系是否能复现随机网络与无标度网络等标准网络模型的已知结果？
• RQ4 对于$γ = 2$的无标度网络，实现两度分离所需的临界平均度$\langle k\rangle$是多少？
• RQ5 环的存在，特别是无标度网络中的环，如何影响连接所有节点所需的度分离数？

主要发现

• $R$-矩阵形式体系成功将聚类系数广义化至$q$-阶，实现了对网络中高阶环状结构的量化。
• 对于$γ = 2$的无标度网络，该形式体系表明两度分离不可行；相反，需要四度分离，与青山早期结论相矛盾。
• $A^2$中零元素的比例支持该结果，表明当$γ = 2$时，仅约75%的节点在两步之内可连接。
• 在具有泊松或正态度分布的随机网络中，$M_2$近似按$\langle k\rangle^2$增长，表明在两度分离时环效应可忽略。
• 对于$N \sim 10^8$（美国人口规模）的随机网络，实现两度分离所需的临界平均度$\langle k\rangle$估计约为$10^4$，但考虑到实证估计的$\langle k\rangle \approx 290$，该值被认为不切实际。
• 该形式体系为分析$p$-阶分离提供了自洽的框架，并通过与已知网络行为及先前研究的对比得到验证。