[论文解读] p-th Kazdan-Warner equation on graph

Huabin Ge|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 1被引用 6

一句话总结

该论文为任意 $ p > 1 $ 时在有限图上求解 $ p $-阶 Kazdan-Warner 方程 $\Delta_p u = c - h e^u$ 建立了可解性条件，推广了 Grigor'yan、Lin 和 Yang 对 $ p=2 $ 的结果。通过变分法与上下解技术，证明了在 $ c $ 和 $ h $ 的显式条件（包括 $ h $ 的符号和平均值约束）下，解存在且在常数意义下唯一。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a connected finite graph and $C(V)$ be the set of functions defined on $V$. Let $Δ_p$ be the discrete $p$-Laplacian on $G$ with $p>1$ and $L=Δ_p-k$, where $k\in C(V)$ is positive everywhere. Consider the operator $L:C(V) ightarrow C(V)$. We prove that $-L$ is one to one, onto and preserves order. So it implies that there exists a unique solution to the equation $Lu=f$ for any given $f\in C(V)$. We also prove that the equation $Δ_pu=\overline{f}-f$ has a solution which is unique up to a constant, where $\overline{f}$ is the average of $f$. With the help of these results, we finally give various conditions such that the $p$-th Kazdan-Warner equation $Δ_pu=c-he^u$ has a solution on $V$ for given $h\in C(V)$ and $c\in \mathds{R}$. Thus we generalize Grigor'yan, Lin and Yang's work \cite{GLY} for $p=2$ to any $p>1$.

研究动机与目标

• 将 Grigor'yan、Lin 和 Yang 在图上关于 $ p=2 $ 的 Kazdan-Warner 方程结果推广至任意 $ p>1 $。
• 解决离散 $ p $-拉普拉斯算子 $\Delta_p$ 在 $ p \neq 2 $ 时非线性带来的挑战。
• 在 $ c $ 和 $ h $ 的显式条件下，刻画有限图上 $\Delta_p u = c - h e^u$ 解的存在性。
• 证明算子 $ L = \Delta_p - k $（$ k > 0 $）是双射且保序的，从而实现解的构造。
• 即使在非线性情形 $ p \neq 2 $ 下，也通过上下解方法与变分原理证明解的存在性。

提出的方法

• 证明当 $ k > 0 $ 时，算子 $ L = \Delta_p - k $ 是双射且保序的，从而确保 $ Lu = f $ 的可逆性与解的唯一性。
• 利用 Liouville 型定理与 $ p $-拉普拉斯算子的性质，证明 $\Delta_p u = \overline{f} - f$ 的解存在且在常数意义下唯一。
• 应用上下解方法，通过构造嵌套序列收敛于解，来构造 $\Delta_p u = c - h e^u$ 的解。
• 利用中值定理与比较估计，验证迭代解构造过程中算子 $ L $ 的保序性质。
• 在离散情形下应用 Trudinger-Moser 不等式与 Sobolev 嵌入不等式，控制增长并确保收敛性。
• 将 $ c_-(h) $ 定义为当 $ c < 0 $ 时无解的临界阈值，并证明当 $ \overline{h} < 0 $ 时，$ c \in (c_-(h), 0) $ 范围内存在解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ c \in \mathbb{R} $ 和函数 $ h \in C(V) $，当 $ p > 1 $ 时，方程 $\Delta_p u = c - h e^u$ 在有限图上存在解？
• RQ2 该 $ p $-阶 Kazdan-Warner 方程的可解性如何依赖于 $ h $ 的符号与平均值？
• RQ3 当 $ \overline{h} < 0 $ 时，是否可保证 $ c < 0 $ 情形下解的存在性？临界阈值 $ c_-(h) $ 是什么？
• RQ4 与 $ p=2 $ 情形相比，$ \Delta_p $ 在 $ p \neq 2 $ 时的非线性与非齐次性如何影响解的结构？
• RQ5 在何种条件下可保证存在上下解，使其通过迭代构造包围一个解？

主要发现

• 当 $ k > 0 $ 时，算子 $ L = \Delta_p - k $ 是双射且保序的，确保对任意 $ f \in C(V) $，方程 $ Lu = f $ 有唯一解。
• $\Delta_p u = \overline{f} - f$ 的解存在且在常数意义下唯一，为解的构造提供了关键工具。
• 当 $ c = 0 $ 时，方程 $\Delta_p u = -h e^u$ 有解当且仅当 $ h $ 变号且 $ \overline{h} < 0 $。
• 当 $ c > 0 $ 时，有解当且仅当 $ h $ 在某处为正，与其中平均值无关。
• 当 $ c < 0 $ 时，有解当且仅当 $ \overline{h} < 0 $ 且 $ c > c_-(h) $，其中 $ c_-(h) \in [-\infty, 0)$ 是仅依赖于 $ h $ 的临界阈值。
• 当 $ h \leq 0 $ 且不恒为零时，对所有 $ c \in (c_-(h), 0) $ 存在解，而当 $ c < c_-(h) $ 时无解。