[论文解读] Packing a fixed number of identical circles in a circular container with circular prohibited areas

C.O. López, J. E. Beasley|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Optimization and Packing Problems参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出一种公式空间搜索（FSS）启发式方法，以最大化在包含固定圆形禁止区域的单位圆形容器中相同圆的半径。该方法通过迭代重构非线性优化问题以逃逸局部最优解，在最多包含100个圆的六个测试案例中表现出色，涵盖环形、并集型及不连通的禁止区域，实现了高质量的半径优化。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of packing a fixed number of identical circles inside the unit circle container, where the packing is complicated by the presence of fixed size circular prohibited areas. Here the objective is to maximise the radius of the identical circles. We present a heuristic for the problem based upon formulation space search. Computational results are given for six test problems involving the packing of up to 100 circles. One test problem has a single prohibited area made up from the union of circles of different sizes. Four test problems are annular containers, which have a single inner circular prohibited area. One test problem has circular prohibited areas that are disconnected.

研究动机与目标

• 解决在包含固定圆形禁止区域的圆形容器中排列固定数量相同圆的挑战，其中空间障碍物使标准排列方法变得复杂。
• 在几何约束下最大化相同圆的半径，包括环形、并集和不连通的禁止区域。
• 开发并评估一种新型元启发式方法——公式空间搜索（FSS），用于具有禁止区域的非线性、非凸圆 packing 问题。
• 提供多种禁止区域配置的计算结果，包括先前物品成为禁止区域的现实世界顺序排列场景。
• 展示FSS方法在不同圆的数量（最多100个）和禁止区域类型下的鲁棒性与可扩展性。

提出的方法

• 该方法采用公式空间搜索（FSS），一种迭代式元启发式方法，通过在每次迭代中动态改变问题公式以探索不同的解空间。
• 在每次FSS迭代中，通过扰动问题的约束和目标函数生成新公式，从而实现从局部最优解中逃逸。
• 核心优化问题是一个非线性规划问题，目标是最大化圆的半径，同时满足不重叠以及容器和禁止区域边界的约束。
• 使用非线性规划求解器求解公式，对解的可行性与半径质量进行评估。
• 该算法维护一个外部精英解档案，并采用自适应扰动策略，引导搜索朝向高质量排列。
• 该方法应用于六个测试问题：一个包含多个禁止圆并集的案例，四个具有内环禁止区域（环形）的案例，以及一个具有不连通禁止区域的案例。

实验结果

研究问题

• RQ1 公式空间搜索（FSS）在求解具有固定圆形禁止区域的圆 packing 问题时效果如何？
• RQ2 FSS能否在包括环形、并集和不连通区域在内的多种禁止区域配置中持续找到高质量解？
• RQ3 FSS的性能如何随相同圆数量的增加（最多100个）和禁止区域复杂度的变化而变化？
• RQ4 不同公式参数（如每轮迭代的公式数量|F|）对解质量与计算时间有何影响？
• RQ5 不同禁止区域类型下的最大半径结果如何比较？这些结果对顺序排列应用场景提供了哪些启示？

主要发现

• 在测试问题1（带单个内禁止圆的环形容器）中，FSS启发式方法在n=10时达到最佳半径0.25725385，总计算时间为262.81秒（|F|=4）。
• 当|F|=11时，n=100时的最佳半径为0.08286614，计算耗时1184.00秒，表明该方法可扩展至更大规模实例。
• 在测试问题6（具有不连通禁止区域）中，方法在n=100时达到半径0.08427842，计算耗时962.60秒。
• 在测试问题1中，n=50时的最佳半径为0.12068548（|F|=7），计算耗时357.89秒，表明随着|F|增大，性能持续提升。
• 在复杂配置（如不连通禁止区域）中，FSS方法在解质量上优于基线方法。
• 结果表明，FSS在复杂、非凸的搜索空间中具有强大导航能力，即使在显著的几何约束下也能生成高质量解。