[论文解读] Packing and Covering a Polygon with Geodesic Disks

Ivo Vigan|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文提出了在多边形中使用测地线圆盘（距离沿多边形内最短路径测量）进行装箱与覆盖的多项式时间近似算法。针对单位圆盘装箱与覆盖问题，实现了2-近似；针对k个圆盘装箱中最小半径的最大化问题，实现了4-近似；并为覆盖简单多边形的两个测地线圆盘的最小最大半径问题提供了精确的O(n⁸ log n)时间算法。所有问题在带孔多边形中均被证明为NP难问题。

ABSTRACT

Given a polygon $P$, for two points $s$ and $t$ contained in the polygon, their \emph{geodesic distance} is the length of the shortest $st$-path within $P$. A \emph{geodesic disk} of radius $r$ centered at a point $v \in P$ is the set of points in $P$ whose geodesic distance to $v$ is at most $r$. We present a polynomial time $2$-approximation algorithm for finding a densest geodesic unit disk packing in $P$. Allowing arbitrary radii but constraining the number of disks to be $k$, we present a $4$-approximation algorithm for finding a packing in $P$ with $k$ geodesic disks whose minimum radius is maximized. We then turn our focus on \emph{coverings} of $P$ and present a $2$-approximation algorithm for covering $P$ with $k$ geodesic disks whose maximal radius is minimized. Furthermore, we show that all these problems are $\mathsf{NP}$-hard in polygons with holes. Lastly, we present a polynomial time exact algorithm which covers a polygon with two geodesic disks of minimum maximal radius.

研究动机与目标

• 为解决建筑或数据中心等受限环境中的实际设施选址问题，其中最短路径（测地线）距离比欧氏距离更具相关性。
• 开启使用测地线圆盘而非欧氏球体研究多边形中装箱与覆盖问题的先河。
• 针对多种目标（最大化单位圆盘数量、最大化最小半径、最小化最大半径），开发高效近似与精确算法，用于测地线圆盘的装箱与覆盖。
• 确立这些问题的计算复杂性，证明在带孔多边形中为NP难问题。
• 为以最小最大半径覆盖简单多边形的两个测地线圆盘问题提供多项式时间精确算法。

提出的方法

• 采用贪心策略，迭代选择测地线距离最远的点对作为圆盘中心，以确保最大分离度与覆盖范围。
• 在决策算法上应用参数搜索，以检验半径为r的两个测地线圆盘是否能覆盖多边形的所有顶点与边。
• 构建以凸多边形顶点为中心的测地线r-圆的圆排列，以高效探索候选圆盘中心。
• 利用几何性质：若所有顶点均被覆盖，且最多两条边未被覆盖，则当这两条边被相同的圆盘中心覆盖时，内部区域也被覆盖。
• 利用测地线距离≤r的点集构成测地线圆盘的性质，并在多边形内部使用最短路径度量。
• 利用三角不等式与测地线中垂线性质，证明当两个圆盘覆盖所有顶点时，最多仅有两条边可能未被覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效地用最大数量的测地线单位圆盘装箱一个简单多边形？可达到的近似比是多少？
• RQ2 在多边形中用k个测地线圆盘装箱以最大化最小半径时，最佳近似比是多少？
• RQ3 能否用k个测地线圆盘覆盖一个多边形，使得最大半径最小化？可达到的最佳近似比是多少？
• RQ4 能否为以最小最大半径覆盖简单多边形的两个测地线圆盘问题计算精确解？
• RQ5 测地线圆盘装箱与覆盖问题在带孔多边形中是否为NP难问题？

主要发现

• 提出了一种多项式时间2-近似算法，用于在简单多边形中装箱最大数量的测地线单位圆盘。
• 为在多边形中用k个测地线圆盘装箱以最大化最小半径，开发了4-近似算法。
• 为用k个测地线圆盘覆盖多边形（无论是否带孔）以最小化最大半径，给出了2-近似算法。
• 为以最小最大半径覆盖简单多边形的两个测地线圆盘问题，设计了精确的O(n⁸ log n)时间算法。
• 所有四个问题——单位圆盘装箱、k个圆盘装箱以最大化最小半径、k个圆盘覆盖以最小化最大半径，以及两个圆盘覆盖——在带孔多边形中均被证明为NP难。
• 通过证明：若所有顶点和最多两条边被覆盖，则整个多边形被覆盖，从而确立了两圆盘覆盖算法的正确性。