[论文解读] Packing Coloring of Undirected and Oriented Generalized Theta Graphs

Daouya Laïche, Isma Bouchemakh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文研究了无向和有向广义θ图的装箱色数，证明无向图的装箱色数介于3与max{5, n₃ + 2}之间，其中n₃表示长度为3的路径数量，且两个界限均为紧致。对于有向图，装箱色数介于2与5之间，且两个界限同样紧致，并构造了一个特定的有向广义θ图以实现5的上界。

ABSTRACT

The packing chromatic number $χ$ $ρ$ (G) of an undirected (resp. oriented) graph G is the smallest integer k such that its set of vertices V (G) can be partitioned into k disjoint subsets V 1,..., V k, in such a way that every two distinct vertices in V i are at distance (resp. directed distance) greater than i in G for every i, 1 $\le$ i $\le$ k. The generalized theta graph $Θ$ {\ell} 1,...,{\ell}p consists in two end-vertices joined by p $\ge$ 2 internally vertex-disjoint paths with respective lengths 1 $\le$ {\ell} 1 $\le$ . . . $\le$ {\ell} p. We prove that the packing chromatic number of any undirected generalized theta graph lies between 3 and max{5, n 3 + 2}, where n 3 = |{i / 1 $\le$ i $\le$ p, {\ell} i = 3}|, and that both these bounds are tight. We then characterize undirected generalized theta graphs with packing chromatic number k for every k $\ge$ 3. We also prove that the packing chromatic number of any oriented generalized theta graph lies between 2 and 5 and that both these bounds are tight.

研究动机与目标

• 确定无向广义θ图装箱色数的精确界限。
• 对所有k ≥ 3，通过装箱色数对无向广义θ图进行特征刻画。
• 为有向广义θ图的装箱色数建立紧致界限。
• 构造一个有向广义θ图，使其装箱色数恰好为5，以证明上界的紧致性。

提出的方法

• 将装箱色数定义为最小的k，使得顶点可被划分为k个集合，且每个集合i中的任意两个顶点之间的距离大于i。
• 分析由两个端点之间p ≥ 2条内部不相交路径构成的无向广义θ图，路径长度满足ℓ₁ ≤ … ≤ ℓₚ。
• 通过结构分析与分情况推理，基于路径长度分布（特别是长度为3的路径数量n₃）来界定装箱色数。
• 构造一个包含六条有向路径（包括长度为4、2和1的路径）的特定有向广义θ图，以证明5种颜色是必要的。
• 对构造图中可能的颜色分配进行详尽的分情况分析，以证明不存在4-着色方案。
• 利用有向距离的性质及源点/汇点配置特征，推导有向图的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 无向广义θ图的装箱色数的确切范围是什么？
• RQ2 对于哪些k ≥ 3的取值，无向广义θ图的装箱色数恰好为k？
• RQ3 有向广义θ图的装箱色数的紧致上界是什么？
• RQ4 有向情形下5的上界是否紧致？若是，能否构造出一个具体实例使其达到该上界？

主要发现

• 任意无向广义θ图的装箱色数介于3与max{5, n₃ + 2}之间，其中n₃为长度为3的路径数量，且两个界限均为紧致。
• 对每个k ≥ 3，均存在一个无向广义θ图，其装箱色数恰好为k，从而实现了完全的特征刻画。
• 任意有向广义θ图的装箱色数至少为2，至多为5，且两个界限均为紧致。
• 构造了一个显式的有向广义θ图，其包含六条有向路径（包括长度为1、2和4的路径），其装箱色数恰好为5。
• 证明了该构造的有向图不存在4-着色方案，从而确认5种颜色是必要的。
• 本文推测存在装箱色数为5的有向广义θ图，且其中不包含长度小于4的路径，暗示5的界限可能无法进一步降低。