[论文解读] Packing colouring of some classes of cubic graphs

Daouya Laïche, Éric Sopena|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文确定了若干类立方图的精确装箱色数，包括环形梯子、H-图和广义H-图。通过结构分析与显式构造，证明了当 $ r \geq 2 $ 时，环形梯子 $ H^5(r) $ 的装箱色数恰好为 6；对于奇数 $ r \geq 3 $ 的 H-图，建立了 6 到 7 的界限，并通过计算验证至 $ r=13 $。该研究在一般次立方图中装箱色数无界的情况下，深化了对受限立方图族中装箱色数有界性的理解。

ABSTRACT

The packing chromatic number $χ$ $ρ$ (G) of a graph G is the smallest integer k such that its set of vertices V (G) can be partitioned into k disjoint subsets V 1 ,. .. , V k , in such a way that every two distinct vertices in V i are at distance greater than i in G for every i, 1 $\le$ i $\le$ k. Recently, Balogh, Kostochka and Liu proved that $χ$ $ρ$ is not bounded in the class of subcubic graphs [Packing chromatic number of subcubic graphs, Discrete Math. 341 (2018), 474483], thus answering a question previously addressed in several papers. However, several subclasses of cubic or subcubic graphs have bounded packing chromatic number. In this paper, we determine the exact value of, or upper and lower bounds on, the packing chromatic number of some classes of cubic graphs, namely circular ladders, and so-called H-graphs and generalised H-graphs.

研究动机与目标

• 确定特定类立方图的装箱色数的精确值或有界值。
• 解决一个开放问题：尽管在一般次立方图类中装箱色数无界，但在立方图的子类中其是否仍保持有界。
• 通过分析环形梯子和H-图等结构化立方图，扩展先前关于装箱染色的研究结果。
• 提供显式构造与周期性染色模式，以实现最优装箱色数。
• 提出关于有向立方图中装箱色数有界性的开放问题。

提出的方法

• 本文使用结构分解分析环形梯子、H-图和广义H-图的顶点集，重点关注被赋予相同颜色的顶点之间的距离约束。
• 应用 $ i $-打包的概念——即顶点两两之间距离大于 $ i $ 的集合——以定义并界定装箱色数。
• 针对 $ H^5(r) $ 构造了显式的 6 种颜色染色，采用周期性模式，图示展示了不同 $ r $ 值下的颜色分配。
• 使用计算机辅助的暴力搜索方法，验证了在小规模实例 $ H^5(2) $ 和 $ r \geq 5 $ 的 $ H^5(r) $ 中不存在 5 种颜色染色，从而确立了下界。
• 通过不等式 $ \sum_{i=1}^k \rho_i(G) \geq |V(G)| $ 推导理论界限，其中 $ \rho_i(G) $ 表示图 $ G $ 中 $ i $-打包的最大大小，以约束可能的染色方案。
• 本文利用装箱色数的遗传性质：对于图 $ G $ 的任意子图 $ H $，有 $ \chi_\rho(H) \leq \chi_\rho(G) $，并借助关于环图冠图的已知结果作为下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ r \geq 2 $ 时，环形梯子 $ H^5(r) $ 的精确装箱色数是多少？
• RQ2 对于奇数 $ r \geq 3 $ 的 H-图 $ H(r) $，其装箱色数是否恰好为 7？计算证据支持至 $ r=13 $。
• RQ3 尽管在一般次立方图中装箱色数无界，但在最大度为 3 的有向立方图中，其装箱色数是否仍保持有界？
• RQ4 周期性染色模式如何在结构化立方图中实现最优装箱染色的构造？
• RQ5 考虑到其对称与递归结构，H-图和广义H-图中实现顶点装箱分配所需的最少颜色数是多少？

主要发现

• 通过显式 6 种颜色染色及小规模情况下的计算机验证（确认不存在 5 种颜色染色），证明了当 $ r \geq 2 $ 时，环形梯子 $ H^5(r) $ 的装箱色数恰好为 6。
• 对于 $ r \geq 3 $ 且 $ r $ 为奇数的 H-图 $ H(r) $，其装箱色数被限制在 6 到 7 之间，计算证据支持其值为 7，直至 $ r=13 $。
• 本文为 $ r \geq 6 $ 的 $ H^5(r) $ 提供了基于 $ r $ 对 4 或 6 取模的显式周期性染色模式，确保满足有效的装箱约束。
• 环图 $ C_n \odot K_1 $ 的冠图为任何包含其作为子图的立方图的装箱色数提供了 4 或 5 的下界，用于建立基准界限。
• 通过穷举搜索证明了 $ H^5(r) $ 的装箱色数至少为 6，确认在 $ H^5(2) $ 和 $ r \geq 5 $ 的 $ H^5(r) $ 的 3-梯子子图中均不存在 5 种颜色染色。
• 本文确认，在若干结构化立方图族中，装箱色数是有界的，这与 Balogh、Kostochka 和 Liu 之前所证明的一般次立方图中装箱色数无界形成鲜明对比。