[论文解读] Packing identical simple polygons is NP-hard

Sarah R. Allen, John Iacono|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文证明了将 *k* 个相同的较小简单多边形通过平移和旋转方式装入一个较大的简单多边形中是 NP-难问题。作者提出了一种新颖的从平面电路可满足性问题（Planar-Circuit-SAT）的归约方法，将整个电路编码在小多边形的形状中，而非大得多边形中，从而首次在两个输入形状均为简单多边形（即无孔洞）的情况下确立了该问题的 NP-难性。

ABSTRACT

Given a small polygon S, a big simple polygon B and a positive integer k, it is shown to be NP-hard to determine whether k copies of the small polygon (allowing translation and rotation) can be placed in the big polygon without overlap. Previous NP-hardness results were only known in the case where the big polygon is allowed to be non-simple. A novel reduction from Planar-Circuit-SAT is presented where a small polygon is constructed to encode the entire circuit.

研究动机与目标

• 解决简单多边形装入问题的计算复杂性，该问题此前既未被证明属于 P，也未被证明是 NP-难的。
• 通过证明当小多边形和大多边形均为简单多边形（即无孔洞）时的 NP-难性，填补计算几何领域的一个关键空白。
• 开发一种新型归约技术，将整个电路编码在小多边形的几何结构中，而非大得多边形的结构中。
• 将多边形装入问题的复杂性理解从非简单多边形及特定形状（如正方形）扩展至更一般的情形。

提出的方法

• 从平面网格可满足性问题（Planar-Grid-SAT），即平面电路可满足性问题（Planar-Circuit-SAT）的一个变体，归约至多边形装入问题，以构造该问题的一个难解实例。
• 设计一种复杂且非凸的小多边形，其具有凸起、凹陷和微槽结构，用以编码逻辑状态和电路元件（导线、非门、与门）。
• 利用由几何约束（凸起和凹陷）强制实现的唯一刚性装入配置，模拟电路中的真值赋值。
• 通过偏移的凹陷和固定杆（nailers）引入“状态”，以表示相邻多边形放置中变量的真值（真/假）。
• 根据列的奇偶性及电路元件类型（导线、非门、与门）编程微槽的位置，以确保逻辑一致性。
• 构建一个不依赖于电路逻辑的大多边形，仅通过尺寸和边界形状来约束小多边形的放置。

实验结果

研究问题

• RQ1 将 *k* 个相同的简单多边形装入一个简单大多边形的问题是否为 NP-难？
• RQ2 能否构造一种从平面电路可满足性问题（Planar-Circuit-SAT）的归约，使得电路逻辑被编码在小多边形中，而非大得多边形中？
• RQ3 哪些几何特征能够强制实现唯一或受限的装入方式，以模拟逻辑变量和逻辑门？
• RQ4 能否使用一种非凸且尺寸可变的小多边形，在多边形装入框架中模拟任意电路逻辑？
• RQ5 该构造对其他多边形装入变体的复杂性有何影响，特别是针对凸多边形或复杂度恒定的多边形？

主要发现

• 将 *k* 个相同的简单多边形装入一个简单大多边形的问题已被证明是 NP-难的。
• 该归约构造出一个小多边形，其形状编码了一个完整的平面网格可满足性（Planar-Grid-SAT）电路，包括导线、非门和与门。
• 装入方式在变量真值赋值的意义上是唯一的，几何约束（微槽和凹陷）确保了逻辑一致性。
• 大得多边形独立于电路结构，仅依赖于其尺寸和边界形状来约束小多边形的放置。
• 该构造使用了一个多项式大小的非凸小多边形，为未来复杂性分析带来了新的挑战。
• 该结果通过确立当两个输入多边形均为简单多边形时的 NP-难性，解决了长期悬而未决的开放问题。