[论文解读] Packing of mixed hyperarborescences with flexible roots via matroid intersection

Florian Hörsch, Zoltán Szigeti|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于拟阵交集的表征与算法，用于在具有灵活根约束的混合超图中打包 $k$ 个混合超有根树，其中每个顶点 $v$ 必须是至少 $f(v)$ 个且至多 $g(v)$ 个有根树的根。主要贡献是利用拟阵交集，提出了一种求解最小权 $(k,f,g)$-灵活打包的多项式时间算法，推广了早期关于固定根有根树打包的结果。

ABSTRACT

Given a mixed hypergraph $\\mathcal{F}=(V,\\mathcal{A}\\cup \\mathcal{E})$, functions $f,g:V\ ightarrow \\mathbb{Z}_+$ and an integer $k$, a packing of $k$ spanning mixed hyperarborescences is called $(k,f,g)$-flexible if every $v \\in V$ is the root of at least $f(v)$ and at most $g(v)$ of the mixed hyperarborescences. We give a characterization of the mixed hypergraphs admitting such packings. This generalizes results of Frank and, more recently, Gao and Yang. Our approach is based on matroid intersection, generalizing a construction of Edmonds. We also obtain an algorithm for finding a minimum weight solution to the above mentioned problem.

研究动机与目标

• 将 Frank 的 $(k,f,g)$-灵活有根树打包结果从有向图推广到混合超图。
• 将 Gao 和 Yang 的混合图结果扩展到具有灵活根约束的更广泛混合超图设置。
• 利用拟阵交集开发一种计算最小权 $(k,f,g)$-灵活打包的多项式时间算法。
• 使用拟阵理论工具，提供可实现此类灵活打包的混合超图的完整表征。

提出的方法

• 将问题表述为两个拟阵上的拟阵交集问题：在基础边集上定义一个 $k$-森林拟阵，在弧和超边集上定义一个 $(k,f,g)$-划分拟阵。
• 将 $k$-森林拟阵 ${\sf M}^k_{\mathcal{F}}$ 定义为混合超图基础图的森林拟阵的 $k$-和。
• 将 $(k,f,g)$-划分拟阵 ${\sf M}^{(k,f,g)}_{\mathcal{D}_{\mathcal{F}}}$ 定义为每个顶点入边上的均匀拟阵的直和，根据 $f(v)$ 和 $g(v)$ 的约束进行调整。
• 利用 Edmonds 的拟阵交集定理，表征大小为 $k(|V|-1)$ 的公共独立集的存在性，该集合对应于有效的 $(k,f,g)$-灵活打包。
• 应用 Edmonds 的加权拟阵交集算法，通过为有向超边分配权重并最小化总权重，计算最小权解。
• 通过将公共独立集分解为 $k$ 个以根重数匹配 $f(v)$ 和 $g(v)$ 的生成超有根树，重构实际的超有根树打包。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，混合超图 $\mathcal{F}=(V,\mathcal{A} \cup \mathcal{E})$ 允许打包 $k$ 个生成混合超有根树，使得每个顶点 $v$ 至少是 $f(v)$ 个且至多是 $g(v)$ 个有根树的根？
• RQ2 如何利用拟阵理论建模混合超有根树打包中的灵活根约束？
• RQ3 能否使用拟阵交集在多项式时间内计算最小权 $(k,f,g)$-灵活打包？
• RQ4 拟阵交集框架如何扩展先前关于有向图和混合图中固定根有根树打包的结果？

主要发现

• 混合超图 $\mathcal{F}=(V,\mathcal{A} \cup \mathcal{E})$ 允许存在 $(k,f,g)$-灵活打包 $k$ 个混合超有根树，当且仅当两个拟阵——$k$-森林拟阵和 $(k,f,g)$-划分拟阵——满足特定的秩条件。
• 此类打包的存在性等价于两个拟阵 ${\sf M}^k_{\mathcal{F}}$ 和 ${\sf M}^{(k,f,g)}_{\mathcal{D}_{\mathcal{F}}}$ 中大小为 $k(|V|-1)$ 的公共独立集的存在性。
• 本文提供了使用加权拟阵交集计算最小权 $(k,f,g)$-灵活打包的多项式时间算法。
• 该算法在多项式时间内运行，因为根据引理 2 和 3，两个拟阵均存在多项式时间的独立性预言机。
• 通过将公共独立集分解为 $k$ 个生成超有根树，且其根计数匹配 $f(v)$ 和 $g(v)$ 的边界，实现解的重构。
• 该表征推广了 Frank 在有向图上的结果以及 Gao 和 Yang 在混合图上的结果，扩展到更广泛的混合超图设置。