[论文解读] Padé Approximants, density of rational functions in $\bbb{A^\infty(\OO)}$ and smoothness of the integration operator

Vassili Nestoridis, Ilias Zadik|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在空间 $A^\infty(\Omega)$ 中建立了 Padé 逼近的通用性质，表明在 $\Omega$ 具有某些几何条件时，即使 $\partial\Omega$ 的长度为无穷，有理函数在 $A^\infty(\Omega)$ 中是稠密的。此外，本文证明了在这些条件下，$\Omega$ 上的积分算子保持 $H^\infty(\Omega)$ 和 $A(\Omega)$，并提供了一个 $A(\Omega)$ 中函数的构造性例子，其原函数无界，突显了边界几何在积分光滑性中的作用。

ABSTRACT

First we establish some generic universalities for Padé approximants in the closure $X^\infty(\OO)$ in $A^\infty(\OO)$ of all rational functions with poles off $\oO$, the closure taken in $\C$ of the domain $\OO\subset\C$.\ Next we give sufficient conditions on $\OO$ so that $X^\infty(\OO)=A^\infty(\OO)$.\ Some of these conditions imply that, even if the boundary $\partial\OO$ of a Jordan domain $\OO$ has infinite length, the integration operator on $\OO$ preserves $H^\infty(\OO)$ and $A(\OO)$ as well.\ We also give an example of a Jordan domain $\OO$ and a function $f\in A(\OO)$, such that its antiderivative is not bounded on $\OO$.\ Finally we restate these results for Volterra operators on the open unit disc $D$ and we complete them by some generic results.

研究动机与目标

• 在 $A^\infty(\Omega)$ 中有理函数的闭包 $X^\infty(\Omega)$ 中建立 Padé 逼近的通用性质。
• 确定域 $\Omega$ 的充分几何条件，使得即使 $\partial\Omega$ 的长度为无穷，也有 $X^\infty(\Omega) = A^\infty(\Omega)$。
• 研究在 $\Omega$ 上积分算子的光滑性，具体而言，分析 $H^\infty(\Omega)$ 和 $A(\Omega)$ 中函数的原函数是否保持有界或连续至边界。
• 提供一个约旦域 $\Omega$ 和一个函数 $f \in A(\Omega)$ 的构造性例子，其原函数在 $\Omega$ 中无界，以说明在某些情况下光滑性会失效。
• 以单位圆盘上的 Volterra 算子形式重述结果，并使用 Baire 族理论证明通用性结果。

提出的方法

• 使用 $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 上的弦度量，分析在与 $\overline{\Omega}$ 不相交的紧集上，函数通过 Padé 逼近进行一致逼近。
• 应用 Baire 的范畴定理，证明在某些条件下，其原函数不属于 $H^\infty(\Omega)$ 或 $A(\Omega)$ 的函数集合在 $A(\Omega)$ 中是剩余集且稠密。
• 构造一个具有无限长边界的约旦域 $\Omega$ 和一个函数 $f \in A(\Omega)$ 的具体例子，使得其原函数无界，使用奇异内函数 $\exp\left(\frac{z+1}{z-1}\right)$。
• 通过黎曼映射将结果约化到单位圆盘 $D$，将积分算子重新表述为 $H(D)$ 和 $A(D)$ 上的 Volterra 算子 $T_g$。
• 证明集合 $\{f \in A(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ 和 $\{f \in H^\infty(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ 在非空时为 $G_\delta$ 且稠密，使用一致收敛拓扑下的开集与稠密集。
• 利用拓扑通用性，证明对于残集中的函数 $g$，Volterra 算子 $T_g$ 对于残集中的输入 $f$ 会破坏 $H^\infty(D)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，有理函数（极点不在 $\overline{\Omega}$ 上）在 $A^\infty(\Omega)$ 中的闭包 $X^\infty(\Omega)$ 等于 $A^\infty(\Omega)$？
• RQ2 对于具有无限长边界的约旦域 $\Omega$，其上的积分算子是否仍能保持 $H^\infty(\Omega)$ 和 $A(\Omega)$，以确保有界或连续解析函数的原函数仍为有界或连续？
• RQ3 是否存在一个约旦域 $\Omega$ 上的函数 $f \in A(\Omega)$ 的构造性例子，其原函数在 $\Omega$ 中无界，即使 $\partial\Omega$ 的长度为无穷？
• RQ4 积分算子未能保持 $H^\infty(\Omega)$ 的失败情况有多普遍？具体而言，其原函数不属于 $H^\infty(\Omega)$ 的函数 $f \in A(\Omega)$ 的集合是否在 $A(\Omega)$ 中为剩余集且稠密？
• RQ5 能否将 $\Omega$ 上积分算子的结果重新表述并推广到单位圆盘 $D$ 上的 Volterra 算子？在此设定下，失败集合是否具有通用性？

主要发现

• 若 $\Omega$ 是一个约旦域，满足 $\overline{\Omega}^0 = \Omega$，$\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}$ 连通，且 $\Omega$ 中任意两点间的曲线长度一致有界，即使 $\partial\Omega$ 的长度为无穷，有理函数（极点不在 $\overline{\Omega}$ 上）的闭包 $X^\infty(\Omega)$ 仍等于 $A^\infty(\Omega)$。
• 对于此类域 $\Omega$，积分算子 $f \mapsto F$（其中 $F' = f$ 且 $F(z_0) = 0$）将 $H^\infty(\Omega)$ 映射到 $H^\infty(\Omega)$，将 $A(\Omega)$ 映射到 $A(\Omega)$，从而保证了积分的光滑性。
• 存在一个约旦域 $\Omega$，其边界 $\partial\Omega$ 长度为无穷，以及一个函数 $f \in A(\Omega)$，使得其原函数 $F$ 在 $\Omega$ 中无界，这表明在边界长度为无穷时，积分的光滑性并非必然成立。
• 在 $A(\Omega)$ 中，其原函数 $F(f)$ 不属于 $H^\infty(\Omega)$ 的函数集合，要么为空集，要么为剩余集且为 $G_\delta$，这意味着原函数有界性的失败具有通用性。
• 在单位圆盘 $D$ 上，若 $Y_1(g) \neq \emptyset$，则 Volterra 算子 $T_g(f) = \int_0^z f(\zeta)g'(\zeta) d\zeta$ 对于 $A(D)$ 中残集且稠密的 $f$ 不保持 $H^\infty(D)$，且该性质在符号 $g$ 的空间中具有通用性。
• 当非空时，集合 $\{f \in A(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ 和 $\{f \in H^\infty(D) : T_g(f) \notin H^\infty(D)\}$ 分别为 $A(D)$ 和 $H^\infty(D)$ 中的 $G_\delta$ 且稠密，该结论通过 Baire 族论证得以证明。