[论文解读] Padé-type Approximations to the Resolvent of Fractional Powers of Operators

Lidia Aceto, Paolo Novati|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种新型的Padé型有理逼近方法，用于分数阶微分算子的预解算子，特别是 (I + hL^α)^{-1}，通过优化移位参数 τ 以最小化误差。该方法利用超几何函数表示和Gauss-Jacobi积分公式推导误差估计，在无限维情形下实现 O(k^{-4α}) 的收敛速率，在有限维情形下实现线性收敛速率 rk（0 < r < 1），并将其应用于有理Krylov方法，以高效求解分数阶扩散问题。

ABSTRACT

We study a reliable pole selection for the rational approximation of the resolvent of fractional powers of operators in both the finite and infinite dimensional setting. The analysis exploits the representation in terms of hypergeometric functions of the error of the Padé approximation of the fractional power. We provide quantitatively accurate error estimates that can be used fruitfully for practical computations. We present some numerical examples to corroborate the theoretical results. The behavior of rational Krylov methods based on this theory is also presented.

研究动机与目标

• 提出一种针对自伴正算子分数阶幂的预解算子 (I + hL^α)^{-1} 的可靠有理逼近方法。
• 通过在Padé型逼近中最优选择移位参数 τ，最小化近似误差。
• 为实际计算中所需算子求逆次数 k 提供可量化的精确误差估计，实现 a-priori 确定。
• 将理论推广至有限维情形，其中最大特征值已知，从而实现线性收敛速率。
• 支持构建高效有理Krylov方法，用于求解 (I + hL^α_N)^{-1}v，并实现 a-priori 误差控制。

提出的方法

• 利用在区间 [−1,1] 上的Gauss-Jacobi积分公式（权函数为 (1−t)^{-α}(1+t)^{α−1}），推导 λ^{-α} 的 Padé型逼近 R_{k-1,k}(λ/τ)。
• 从 λ^{-α} 的有理逼近出发，定义预解算子逼近为 Sk−1,k(λ) = pk−1(λ)/(pk−1(λ) + h qk(λ))。
• 通过求解 min_{τ>0} max_{λ∈[c,∞)} |(1 + hλ^α)^{-1} − Sk−1,k(λ)| 优化移位参数 τ，得到依赖于 k 和 h 的近似解 τk。
• 利用Padé逼近误差的超几何函数表示建立误差估计，在无限维情形下得到 O(k^{-4α}) 的衰减速率。
• 在有限维问题中，基于最大特征值 λN 引入改进的参数序列 {τk,N}，实现线性收敛速率 rk（0 < r < 1）。
• 利用 Sk−1,k(λ) 的极点构造有理Krylov方法求解 (I + hL^α_N)^{-1}v，利用误差估计实现对Krylov子空间维数的 a-priori 指导。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Padé型逼近中优化移位参数 τ，以最小化对 (I + hL^α)^{-1} 近似的误差？
• RQ2 在无界和有限维情形下，该有理逼近方法对预解算子的理论收敛速率是什么？
• RQ3 所推导的误差估计是否可用于实际计算中 a-priori 选择算子求逆次数 k？
• RQ4 该有理逼近的极点如何影响有理Krylov方法的构造与收敛性，以求解分数阶扩散问题？
• RQ5 在近似预解算子时，使用依赖 h 的 τ 与不依赖 h 的 τ 相比，各自有何相对优势？

主要发现

• 所提方法在无限维情形下实现 O(k^{-4α}) 的误差衰减，显著优于先前方法。
• 在有限维情形下，基于最大特征值 λN 的 τk,N 可实现线性收敛速率 rk（0 < r < 1），实现更快且更可预测的收敛。
• 基于超几何函数表示推导的误差估计具有高度量化准确性，适用于 a-priori 确定所需极点数 k。
• 数值实验表明，使用依赖 h 的 τk 比先对 L^{-α} 进行近似再通过 (1.1) 变换得到的 τk 具有更好的逼近质量。
• Sk−1,k(λ) 的极点可用于构造具有 a-priori 误差控制的有理Krylov方法，且该方法优于标准的移位-求逆Krylov方法（SIKM）。
• 其他方法如 (k,k)-Padé逼近或将预解算子重写为 1/(1 + hλ^{α−1}) 在理论与实验中均表现较差或几乎等价。