[论文解读] Pade and Hermite-Pade approximation and orthogonality

Walter Van Assche|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2006

Mathematical functions and polynomials参考文献 25被引用 52

一句话总结

本文探讨了Padé逼近与Hermite-Padé逼近、正交多项式之间的深层联系，展示了正交性与对数势论如何支配这些逼近器的渐近行为与收敛性。研究结果表明，多重正交多项式（如多重Hermite、拉盖尔和雅可比多项式）在逼近理论中自然出现，并在证明e和π等基本常数的超越性方面具有关键应用。

ABSTRACT

We give a short introduction to Pade approximation (rational approximation to a function with close contact at one point) and to Hermite-Pade approximation (simultaneous rational approximation to several functions with close contact at one point) and show how orthogonality plays a crucial role. We give some insight into how logarithmic potential theory helps in describing the asymptotic behavior and the convergence properties of Pade and Hermite-Pade approximation.

研究动机与目标

• 阐明正交性在Padé与Hermite-Padé逼近中的作用及其对收敛性与渐近行为的影响。
• 解释对数势论如何为分析逼近器极点与零点的分布提供框架。
• 展示Hermite-Padé逼近在证明e与π等基本常数超越性方面的应用。
• 将多重正交多项式（如多重Hermite、拉盖尔、雅可比多项式）与逼近理论及数学物理联系起来。
• 通过Angelesco、Nikishin与代数切比雪夫系统等体系，统一理解对多个函数的同步有理逼近。

提出的方法

• 利用泰勒级数展开与围道积分推导Padé逼近的误差表示，证明其在解析性半径内的收敛性。
• 应用插值条件 $ P_n(z)f(z) - Q_m(z) = \mathcal{O}((z-a)^{m+n+1}) $ 定义 $[m,n]$ Padé逼近，通过首一分母进行归一化。
• 引入用于多个函数的II型Hermite-Padé逼近，使用多指标 $\vec{n}, \vec{m}$，并给出涉及 $ T(x) = x^N \prod_{j=1}^r (x - \lambda_j)^{n_j} $ 的显式积分表示。
• 运用对数势论分析逼近器极点与零点的渐近分布，尤其在Angelesco与Nikishin系统中。
• 应用引理：若 $ \sum a_k p_{k,n} \neq 0 $ 且 $ p_{0,n}x^k - p_{k,n} \to 0 $，则 $ x $ 为超越数，以证明e与$ \pi $的超越性。
• 使用积分表示如 $ P_{\vec{n}}(z) = z^{| vec{n}|+N+1} \int_0^\infty T(x)e^{-zx} dx $ 构造具有受控渐近行为的显式逼近器。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交性如何支撑Padé与Hermite-Padé逼近的构造与收敛性？
• RQ2 对数势论在描述有理逼近器极点与零点渐近分布方面发挥何种作用？
• RQ3 Hermite-Padé逼近如何用于证明e与π等基本常数的超越性？
• RQ4 多重正交多项式在Angelesco与Nikishin等系统中以何种方式自然出现，又如何影响逼近行为？
• RQ5 Hermite-Padé逼近与随机矩阵理论之间存在何种联系，特别是在外源模型与Wishart系综的背景下？

主要发现

• 函数 $ f $ 在点 $ a $ 处的 $[m,n]$ Padé逼近满足 $ f(z) - Q_m(z)/P_n(z) = \mathcal{O}((z-a)^{m+n+1}) $，确保在 $ a $ 处具有高阶接触。
• 对于 $ f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k / z^{k+1} $，当 $ m = n-1 $ 时，无穷远处的Padé逼近定义为 $ P_n(z)f(z) - Q_{n-1}(z) = \mathcal{O}(z^{-n-1}) $，当 $ z \to \infty $ 时成立。
• π的无理性指数上界为23.271，即当 $ r > 23.271 $ 时，$ |\pi - p/q| < 1/q^r $ 仅有有限多个解，此结论通过Hermite-Padé逼近得出。
• 使用II型Hermite-Padé逼近 $ (e^{\lambda_1 x}, \dots, e^{\lambda_r x}) $ 在 $ x=0 $ 附近，取 $ \lambda_j = j $，可导出e的超越性证明。
• 对于e，构造可得整数 $ p_0, p_1, \dots, p_r $，使得当 $ p \to \infty $ 时 $ p_0 e^j - p_j \to 0 $，同时满足 $ \sum a_k p_k \neq 0 $，符合引理3.2的条件。
• 多重正交多项式，包括多重Hermite、拉盖尔与雅可比（Piñeiro）多项式，在逼近理论中自然出现，并在随机矩阵理论与可积系统中具有应用。