[论文解读] Pair correlation of sequences $(\lbrace a_n \alpha brace)_{n \in \mathbb{N}}$ with maximal order of additive energy

Gerhard Larcher, Wolfgang Stockinger|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文证明，对于具有最大加性能量 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 的互异正整数序列 $(a_n)$，对任意无理数 $\alpha$，序列 $\{a_n \alpha\}$ 均不表现出泊松成对相关性。该结果通过利用 Baloq–Szemerédi–Gowers 定理与 Freiman 定理进行结构分析，将高加性能量与准等差结构联系起来，从而在 Bourgain 早期结果的基础上实现了显著改进，表明对所有 $\alpha$ 而非仅几乎所有 $\alpha$ 均不存在泊松成对相关性。

ABSTRACT

We show for sequences $\left(a_{n} ight)_{n \in \mathbb{N}}$ of distinct positive integers with maximal order of additive energy, that the sequence $\left(\left\{a_{n} \alpha ight\} ight)_{n \in \mathbb{N}}$ does not have Poissonian pair correlations for any $\alpha$. This result essentially sharpens a result obtained by J. Bourgain on this topic.

研究动机与目标

• 解决 Bourgain 关于高加性能量序列泊松成对相关性的结果的精确性问题。
• 证明对于满足 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 的序列，序列 $\{a_n\alpha\}$ 对所有 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 均不具有泊松成对相关性，而不仅限于几乎所有 $\alpha$。
• 建立此类序列的结构表征：其为某有限阶 $d$ 的准等差结构，从而将加性能量与等差数列结构联系起来。
• 通过证明最大能量情形下结果，验证一个猜想：若对几乎所有 $\alpha$ 成对相关性非泊松，则对所有 $\alpha$ 均非泊松。

提出的方法

• 将加性能量 $E(A_N)$ 定义为满足 $a+b = c+d$ 的四元组 $(a,b,c,d) \in A_N^4$ 的数量，并以此对序列的加性结构进行分类。
• 利用 Baloq–Szemerédi–Gowers 定理证明：若 $E(A_N) = \Omega(N^3)$，则存在一个大子集 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$，其具有小加倍性，即满足 $|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$。
• 应用 Freiman 定理，证明此类子集包含于大小为 $O(N_i)$ 的 $d$-维等差数列中，从而将序列分类为某阶 $d$ 的准等差结构。
• 利用等差数列的结构分析索引向量中的差值 $r_k - r_l$，表明许多此类差值产生相同的向量 $u$。
• 建立性质 1：至少 $\gamma N$ 个不同的差值向量 $u$ 以至少 $\gamma N$ 的重数出现，其中 $\gamma = C^2 / (1 + 2^d)$。
• 使用鸽巢原理（性质 2）证明：存在某个 $\beta \in [0,1)$，使得至少 $L = 2/\gamma$ 个值 $\{u \cdot \mathbf{k} \alpha\}$ 落在长度为 $L/(\gamma N)$ 的区间内，从而导致分数部分的聚集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高加性能量序列中，对几乎所有 $\alpha$ 缺乏泊松成对相关性是否可推广至所有 $\alpha$？
• RQ2 是否可以对具有最大加性能量 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 的序列进行结构表征？该表征是否意味着非泊松成对相关性？
• RQ3 能否证明当 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 时，$\{a_n \alpha\}$ 对所有无理数 $\alpha$ 均不具有泊松成对相关性，从而填补 Bourgain 结果中的空白？
• RQ4 是否可在最大能量情形下验证猜想：若对几乎所有 $\alpha$ 成对相关性非泊松，则对所有 $\alpha$ 均非泊松？

主要发现

• 对任意互异正整数序列 $(a_n)$ 满足 $E(A_N) = \Omega(N^3)$，对任意无理数 $\alpha$，序列 $\{a_n \alpha\}$ 均不具有泊松成对相关性。
• 条件 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 等价于序列为某有限阶 $d$ 的准等差结构，即前 $N_i$ 项中有一正比例部分位于大小为 $O(N_i)$ 的 $d$-维等差数列中。
• 对每个此类序列，存在至少 $\tau N_i$ 对 $(k,l)$ 满足 $k \neq l$，使得 $\|\{a_k \alpha\} - \{a_l \alpha\}\| \leq \psi / N_i$，其中 $\tau = C^4 / (4(1 + 2^d)^2)$，且 $\psi$ 仅依赖于 $d$ 和 $C$，表明存在强聚集现象。
• 若 $\psi_i < \rho$ 对无穷多个 $i$ 成立，则当 $s = \rho$ 时，对相关函数的计数超过 $3\rho$，与泊松行为矛盾。
• 若 $\psi_i \geq \rho$ 对无穷多个 $i$ 成立，则在区间 $[s_1, s_2]$ 上（满足 $s_2 - s_1 = \tau/3$）的成对相关计数差值超过 $\tau$，与泊松极限 $2(s_2 - s_1) < \tau$ 矛盾，从而证明非泊松行为。