[论文解读] Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost paracontact almost paracomplex Riemannian structure

Hristo Manev, Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文引入并研究了一对与几乎para接触几乎para复Riemann流形的para接触分布相适应的关联Schouten-van Kampen仿射联络。通过利用Riemann度量及其关联伪Riemann度量的Levi-Civita联络，作者通过非对称联络刻画了这些流形的基本类，并推导出显式的曲率关系，包括截面曲率变换和数量曲率恒等式。主要贡献在于构建了一个统一框架，将几何结构、非对称联络与这些流形上的曲率不变量联系起来，该框架通过一族李群例子得到验证。

ABSTRACT

There are introduced and studied a pair of associated Schouten-van Kampen affine connections adapted to the paracontact distribution and an almost paracontact almost paracomplex Riemannian structure generated by the pair of associated metrics and their Levi-Civita connections. By means of the constructed non-symmetric connections, the basic classes of the manifolds with the considered structure are characterized. Curvature properties of the studied connections are obtained. A family of examples on a Lie group is constructed.

研究动机与目标

• 为几乎para接触几乎para复Riemann流形的para接触分布构造一对非对称Schouten-van Kampen联络。
• 利用所构造的联络刻画此类流形的基本类（F1至F11）。
• 推导新联络的黎曼曲率、 Ricci曲率与数量曲率与Levi-Civita联络的曲率之间关系的显式曲率恒等式。
• 构建并分析一族李群例子，以验证理论结果。

提出的方法

• 利用Riemann度量g及其关联伪Riemann度量eg的Levi-Civita联络，定义一对关联Schouten-van Kampen联络∇∥和e∇∥。
• 利用由F(x,y,z) = g((∇xφ)y, z)定义的(0,3)型基本张量F，将流形分类为基本类F1至F11。
• 推导关联新联络∇∥和e∇∥的黎曼曲率、 Ricci曲率与数量曲率和Levi-Civita联络∇的曲率之间的曲率变换公式。
• 将Ricci曲率ρ(ξ,ξ)和数量曲率τ∥用张量S = ∇ξ及其迹与平方表示。
• 将形式化方法应用于具有左不变结构的(2n+1)维李群L，利用结构常数计算∇和F的分量。
• 在3维例子（n=1）上验证理论结果，表明∇∥和e∇∥与Weitzenböck联络重合，因此曲率为零但挠率非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一对与几乎para接触几乎para复Riemann流形的para接触分布相适应的关联Schouten-van Kampen联络？
• RQ2 这些联络以何种方式刻画流形的基本类F1至F11？
• RQ3 新联络的黎曼曲率、 Ricci曲率与数量曲率与Levi-Civita联络的曲率之间的显式曲率变换公式是什么？
• RQ4 ∇∥和e∇∥的截面曲率如何与∇在不同类型的2平面（ξ截面、φ截面、φ全实截面）上的曲率相关？
• RQ5 理论框架能否通过一族李群上的显式构造得到验证？

主要发现

• 由g和eg的Levi-Civita联络构造的关联Schouten-van Kampen联络对∇∥和e∇∥在李群例子中与Weitzenböck联络重合，意味着曲率为零但挠率非零。
• ∇∥的数量曲率τ∥与Levi-Civita数量曲率τ的关系为τ∥ = τ − 2ρ(ξ,ξ) − tr(S²) + (tr(S))²，其中ρ(ξ,ξ)通过张量S = ∇ξ的迹与平方表示。
• 对于与ξ正交的φ全实截面α⊥，截面曲率满足k∥(α⊥;p) = k(α⊥;p) + π₁(S(x),S(y),y,x)/π₁(x,y,y,x)，e∇∥和eg有类似公式。
• 在ξ截面上，∇∥和e∇∥的截面曲率恒为零：k∥(αξ;p) = 0 且 ek∥(αξ;p) = 0。
• 3维李群例子（n=1）在a₁≠0且a₂≠0时实现F4⊕F9类，a₁=0且a₂≠0时实现F4类，a₁≠0且a₂=0时实现F9类，a₁=a₂=0时实现F0类。
• 该例子验证了普遍理论：∇∥和e∇∥曲率为零，且通过∇和F的分量计算，曲率变换公式得到显式验证。