[论文解读] Pairing and Quantum Double of Multiplier Hopf Algebras

Bernhard Drabant, Alfons Van Daele|ArXiv.org|Sep 16, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文将配对与量子双代数构造的理论从普通霍普夫代数推广到乘子霍普夫代数。它证明了两个对偶配对的正则乘子霍普夫*-代数生成的量子双代数本身也是一个正则乘子霍普夫*-代数，且原始代数上的积分可诱导出双代数上的积分，从而将量子群理论中的关键结构推广至乘子框架。

ABSTRACT

We define and investigate pairings of multiplier Hopf algebras. It is shown that two dually paired regular multiplier Hopf ($*$-)algebras $A$ and $B$ yield a quantum double multiplier Hopf ($*$-)algebra which is again regular. Integrals on $A$ and $B$ induce an integral on the quantum double. The results generalize pairing and quantum double construction from ordinary Hopf algebras to multiplier Hopf algebras.

研究动机与目标

• 将配对与量子双代数构造从普通霍普夫代数推广至更一般的乘子霍普夫代数框架。
• 建立两个对偶配对的正则乘子霍普夫*-代数的量子双代数仍为正则乘子霍普夫*-代数的结论。
• 证明原始代数上的积分可诱导出结果量子双代数上的积分。
• 将有限维霍普夫代数中的已知结果推广至无限维、乘子框架。
• 为在非单位元、非有限维背景下使用乘子霍普夫代数理论构建量子群提供一个框架。

提出的方法

• 作者通过满足对偶条件的非退化双线性形式，定义了两个正则乘子霍普夫代数 A 和 B 之间的配对。
• 他们将量子双代数构造为 A ⊗ B 上的交叉积代数结构，配备一个扩展自各自余乘法的余乘法。
• 该构造依赖于 A 和 B 上积分的存在性，这些积分用于定义对偶配对，并确保量子双代数继承正则性。
• 作者验证了量子双代数满足正则乘子霍普夫*-代数的公理，包括非退化余乘法和积分的存在性。
• 他们利用乘子霍普夫代数理论，包括积分的存在性以及 A 与 B 之间的对偶性，证明量子双代数定义良好且保持正则性。
• 证明过程涉及在乘子框架下验证必要的代数与余代数公理，包括五边形与六边形恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将量子双代数构造从有限维霍普夫代数推广至乘子霍普夫代数？
• RQ2 两个对偶配对的正则乘子霍普夫*-代数的量子双代数是否仍为正则乘子霍普夫*-代数？
• RQ3 原始代数上的积分与量子双代数上的积分有何关系？
• RQ4 何种条件可确保乘子霍普夫代数之间的配对是非退化的且与余乘法相容？
• RQ5 在乘子框架下，量子双代数构造是否具有函子性，或是否以与有限维情况相同的方式与对偶性兼容？

主要发现

• 两个对偶配对的正则乘子霍普夫*-代数的量子双代数本身也是一个正则乘子霍普夫*-代数。
• 该构造保持了对偶结构，确保双代数在广义意义上是自对偶的。
• 原始代数 A 和 B 上的积分可诱导出量子双代数上一个定义良好的积分，保持类似迹的性质。
• A 与 B 之间的配对是非退化的且与余乘法相容，确保双代数定义良好。
• 该结果将标准的量子双代数构造从有限维霍普夫代数推广至乘子霍普夫代数的无限维、非单位元框架。
• 该框架为乘子霍普夫代数背景下量子群的构建提供了连贯的代数结构，扩展了量子代数中的已知结果。