[论文解读] Pairs of modules and determinantal isolated singularities

Terence Gaffney, Antoni Rangachev|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 15

一句话总结

本文通过使用模对的多重性与极曲线，提出了一套用于研究行列式孤立奇点族的惠特尼等值奇点性的框架。通过引入‘地形’（由允许的形变所定义）的概念，将奇点的无穷小不变量与它们通用形变的拓扑联系起来，表明不同的地形会导致不同的等值奇点不变量，且通过显式计算确认了两组不同奇点族的惠特尼等值奇点性。

ABSTRACT

We continue the development of the study of the equisingularity of isolated singularities, in the determinantal case. This version of the paper includes a substantial amount of new material (76% larger). The new material introduces the idea of the landscape of singularity, which includes the allowable deformations of the singularity and associated structure useful for equisingularity questions. Fixing a presentation matrix M of a determinantal singularity means viewing the singularity as a section via M of the set of matrices of a given or smaller rank. Varying M gives the allowable deformations of X. This version also includes a description of the conormal varieties of the rank singularities, which is applied to our machinery. There is also an example of a determinantal singularity which is a member of two Whitney equisingular families, whose generic elements have topologically distinct smoothings. This example shows that it is impossible to find an invariant which depends only on an analytic space $X$ with an isolated singularity, whose value is independent of parameter for all Whitney equisingular deformations of $X$, and which is determined by the geometry of a smoothing of $X$.

研究动机与目标

• 将等值奇点理论扩展至行列式奇点，其为超曲面与完整交的推广。
• 解决如何定义仅依赖于族成员且反映通用形变拓扑的不变量的挑战。
• 引入‘地形’的概念——即在普适形变空间中形变分支的选择——以确定奇点形变至的通用纤维。
• 建立无穷小几何（通过模对）与通用纤维拓扑之间的联系，确保满足等值奇点条件。
• 证明同一奇点的不同地形会导致不同的等值奇点不变量，即使族是惠特尼等值奇点的。

提出的方法

• 定义雅可比模 $JM(X)$ 与由 $X$ 的表示矩阵诱导的一阶形变模 $N(X)$。
• 将模对 $(JM(X), N(X))$ 的多重性作为等值奇点的关键不变量，其与通用纤维的拓扑相关。
• 应用多重性-极曲线定理，通过欧拉示性数与极曲线多重性的和来计算 $\mathrm{mult}_{S_i}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{S_i}M)$。
• 通过涉及弗里特理想与商环的代数公式计算极曲线的多重性 $\mathrm{mult}_{S_1}\Gamma_2(M)$：$\dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[x_1,\dots,x_5]/\langle\mathrm{Fitt}_3(F/M_r), t-\epsilon, I\rangle - \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[x_1,\dots,x_5]/I'$。
• 利用欧拉示性数公式 (5) 与定理 9.8(i) 计算极曲线的贡献及奇点的多重性。
• 通过验证 $\mathrm{mult}_{Y_i}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{Y_i}M) = 0$（$i=1,2$）来确认惠特尼等值奇点性，表明条件 (W) 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过族中成员的不变量来刻画行列式奇点族的等值奇点性？
• RQ2 形变地形的选择在决定奇点等值奇点不变量中起什么作用？
• RQ3 模对与极曲线的多重性如何用于检测惠特尼等值奇点性？
• RQ4 能否仅通过奇点的表示矩阵显式计算等值奇点不变量？
• RQ5 为何同一奇点的不同地形会导致不同的等值奇点不变量，即使族是惠特尼等值奇点的？

主要发现

• 对于两组不同的行列式奇点族，$\mathrm{mult}_{S_1}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{S_1}M) = 78$ 且 $\mathrm{mult}_{S_2}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{S_2}M) = 76$。
• 极曲线多重性 $\mathrm{mult}_{S_1}\Gamma_2(M) = 8$ 通过涉及弗里特理想与极大理想的商环维数之差计算得出。
• 极曲线的贡献与奇点多重性为 $e(\mathfrak{m}_0M(0), M(0)) = 70$，计算为 $4 \cdot 4 + 6 \cdot 9$。
• 由矩阵 (19) 定义的族是惠特尼等值奇点的，因为 $\mathrm{mult}_{Y_1}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{Y_1}M) = 0$，表明相关多重性消失。
• 由矩阵 (20) 定义的族也是惠特尼等值奇点的，$\mathrm{mult}_{Y_2}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{Y_2}M) = 0$，确认在相同准则下满足等值奇点性。
• 同一奇点 $X$ 可以具有两种不同的地形，每种地形产生不同的等值奇点不变量，表明不变量依赖于形变分支的选择。