[论文解读] Pairs of positive solutions for resonant singular equations with the $p$-Laplacian

Nikolaos S. Papageorgiou, Vicenţiu D. Rădulescu+1 more|Repository of the University of Ljubljana (University of Ljubljana)|Oct 7, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文建立了在p-拉普拉斯算子作用下，带有奇异项 $u^{-\mu}$ 和 $(p-1)$-线性扰动项 $f(z,u)$ 的共振奇异椭圆方程至少存在两个正则光滑解的存在性。其中 $f(z,u)$ 在 $+\infty$ 处关于第一特征值呈现共振。通过变分方法、截断技术以及山路定理，在 $f$ 满足适当假设条件下，利用临界点理论证明了解的多重性。本文的核心贡献在于为带有 p-拉普拉斯算子的奇异共振问题提出了一个新的多重性结果。

ABSTRACT

We consider a nonlinear elliptic equation driven by the Dirichlet $p$-Laplacian with a singular term and a $(p-1)$-linear perturbation which is resonant at $+\infty$ with respect to the principal eigenvalue. Using variational tools, together with suitable truncation and comparison techniques, we show the existence of at least two positive smooth solutions.

研究动机与目标

• 建立带有 p-拉普拉斯算子和共振非线性项的奇异椭圆方程多重正解存在的条件。
• 分析当反应项包含奇异项 $u^{-\mu}$（其中 $0 < \mu < 1$）和 $(p-1)$-线性增长扰动项 $f(z,u)$ 且在 $+\infty$ 处关于第一特征值呈现共振时的情形。
• 通过在 p-拉普拉斯框架下引入共振与奇异性，拓展现有奇异问题的多重性结果。
• 利用截断与比较技术构建变分框架，以处理该问题中奇异与共振结构的复杂性。

提出的方法

• 利用山路定理识别与问题相关的能量泛函的临界点。
• 应用截断技术将反应项 $f(z,u)$ 修改为具有可控增长的 Carathéodory 函数，从而使得变分方法得以应用。
• 在 Sobolev 空间 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中使用 Cerami 条件以确保 Palais-Smale 序列的紧致性。
• 利用比较原理与强最大值原理，在 $\mathrm{int}\,C_+$ 中建立解的正性和正则性。
• 构造下解 $\underline{u}$ 与上解 $w$，将解限制在序区间 $[\underline{u}, w]$ 内，从而保证解的正性。
• 依赖 p-拉普拉斯算子的谱理论，特别是主特征值 $\hat{\lambda}_1$，以分析共振条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异共振 p-拉普拉斯问题会存在多于一个正解？
• RQ2 变分方法如何被调整以同时处理非线性椭圆 PDE 中的奇点与共振？
• RQ3 在无穷远处，$f(z,u)$ 的 $(p-1)$-线性增长特性在确保解的多重性方面起到何种作用？
• RQ4 在主特征值处存在奇异项与共振的情况下，山路定理是否仍能有效应用？
• RQ5 截断与比较技术在奇异与共振设定下如何帮助证明存在两个不同的正解？

主要发现

• 在假设 (H1) 成立下，问题在 $\mathrm{int}\,C_+$ 中至少存在两个正则光滑解，记为 $u_0$ 与 $\hat{u}$。
• 第一个解 $u_0$ 是能量泛函 $\varphi_0$ 在 $C^1_0(\overline{\Omega})$ 中的局部极小值点，同时也是 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中的局部极小化元。
• 第二个解 $\hat{u}$ 通过山路定理获得，且满足 $\varphi_0(\hat{u}) \geq m_\rho > \varphi_0(u_0)$，从而确保其与 $u_0$ 不同。
• 能量泛函 $\varphi_0$ 满足 Cerami 条件，这保证了任意有界 Palais-Smale 序列中存在收敛子列。
• 泛函 $\varphi_0$ 在序区间 $[\underline{u}, w]$ 上有下界，其临界点位于 $[\underline{u}, w] \cap C_+$ 内，从而保证了解的正性。
• 函数 $F(z,x)/x^p$ 的渐近行为满足 $\limsup_{x \to \infty} pF(z,x)/x^p \leq \eta(z)$ 与 $\liminf_{x \to \infty} pF(z,x)/x^p \geq \hat{\lambda}_1$，证实了在 $+\infty$ 处关于第一特征值的共振性。