[论文解读] Pairwise non-coprimality of triples

Randell Heyman|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文推导了满足两两互素的正整数三元组 $(a_1, a_2, a_3)$ 的渐近公式，其中每个 $a_i \leq H$ 且对所有 $i \neq j$ 有 $\gcd(a_i, a_j) \neq 1$。通过容斥原理和已知的互素对与三元组结果，本文建立 $\mathcal{N}_3(H) = \rho H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$，其中 $\rho \approx 0.1742$，对应于三个随机正整数两两互素的概率约为 17.4%。

ABSTRACT

We say that $(a_1,...,a_k)$ is pairwise non-coprime if $\gcd(a_i,a_j) e 1$ for all $1 \le i

研究动机与目标

• 计算满足 $1 \leq a_i \leq H$ 且对所有 $i \neq j$ 有 $\gcd(a_i, a_j) \neq 1$ 的三元组 $(a_1, a_2, a_3)$ 的数量。
• 为 $\mathcal{N}_3(H)$（即此类两两互素三元组的数量）在 $H \to \infty$ 时推导一个渐近公式。
• 为 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^m$（$m \geq 2$）的渐近展开中的误差项提供一个上界。
• 将已知的互素 $k$-元组结果推广至两两互素三元组的情形。

提出的方法

• 应用容斥原理，将 $\mathcal{N}_3(H)$ 表示为至少含一对互素、含两对互素以及三对均互素的三元组数量的组合。
• 使用已知的渐近公式：$\sum_{1 \leq a_1,a_2,a_3 \leq H, \gcd(a_1,a_2)=1} 1 = \frac{H^3}{\zeta(2)} + O(H^2 \log H)$ 和 $\sum_{\text{所有对互素}} 1 = \vartheta(3)H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$。
• 利用欧拉函数和函数 $\varphi(n,H) = \sum_{\substack{1 \leq a \leq H \\ (a,n)=1}} 1$ 表达双互素对的和 $\sum_{n \leq H} \varphi(n,H)^2$。
• 使用恒等式 $\varphi(n,H) = \frac{H \varphi(n)}{n} + O(2^{\omega(n)})$ 并展开平方，推导出涉及 $\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right)^2$ 的和。
• 应用引理 2，其提供具有 $O((\log H)^m)$ 误差的渐近展开，以计算 $\sum_{n \leq H} \left(\frac{\varphi(n)}{n}\right)^2$。
• 通过容斥原理合并所有项并化简，得到最终的渐近公式，其中常数为 $\rho$。

实验结果

研究问题

• RQ1 两两互素的正整数三元组的渐近密度是多少？
• RQ2 如何应用容斥原理来计数具有两两互素元素的三元组？
• RQ3 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^2$ 的渐近展开中，误差项是什么？
• RQ4 用于两两互素三元组的方法能否推广至更高阶的元组？

主要发现

• 当 $H \to \infty$ 时，两两互素三元组的数量 $\mathcal{N}_3(H)$ 满足 $\mathcal{N}_3(H) = \rho H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$，其中 $\rho$ 是通过欧拉乘积定义的常数。
• 常数 $\rho = 1 - \frac{3}{\zeta(2)} + 3\prod_p \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) - \prod_p \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right)$ 的数值计算结果约为 $0.1742$。
• 三个随机选取的正整数两两互素的概率约为 17.4%。
• 通过一种与以往解析方法不同的初等证明，为 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^m$（$m \geq 2$）的误差项建立了 $O((\log H)^m)$ 的上界。
• 该方法依赖于容斥原理和已知的互素对与三元组的渐近结果，但由于所需求和项的组合爆炸，难以推广至 $n > 3$ 的情形。