[论文解读] Pairwise Relative Primality of Positive Integers

Jerry Hu|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文通过引入图论框架，将经典结果中k个随机正整数互素的概率推广到G-互素情形，其中G编码了成对互素的约束条件。利用容斥原理与积性数论，作者推导出此类k元组计数的渐近公式，并证明自然密度由涉及图G中独立集数目的素数上的欧拉乘积给出。

ABSTRACT

Given a graph $G=(V,E)$ with $V=\{1,2,...,k\}$, the $k$ positive integers $a_1,a_2, ...,a_k$ are $G$-wise relatively prime if $(a_i, a_j)=1$ for $\{i,j\} \in E$. In this note we consider the problem of finding the probability $A_G$ that k positive integers are $G$-wise relatively prime. As an application of our results, we solve the problems of finding probabilities that k positive integers have exact (or at least) r relatively prime pairs, which was proposed by P. Moree.

研究动机与目标

• 将经典结果推广：k个随机整数互素的概率为$1/\zeta(k)$，推广至仅特定成对需互素的情形，由图G定义。
• 计算k元组正整数G-互素的自然密度$A_G$，其中G指定了必须互素的成对关系。
• 通过研究与固定整数$u_i$互素且G-互素的k元组计数$Q_G^{(u)}(n)$，引入额外的互素条件。
• 通过容斥原理与乘性函数，建立统一框架，以计算k个整数中恰好或至少有r对互素的概率。

提出的方法

• 在k个顶点上定义图$G = (V,E)$，其中边表示整数对之间的互素要求。
• 利用图G中大小为$m$的独立集数量$i_m(G)$，构造主密度公式$A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$。
• 引入校正因子$f_G(u)$，根据$S(u,d)$（即被素数$d$整除的指标集合）的结构，调整当整数需与固定$u_i$互素时的密度。
• 应用莫比乌斯反演与积性数论，推导渐近公式$Q_G^{(u)}(n) = A_G f_G(u) n^k + O(\theta(u) n^{k-1} \log^{k-1} n)$。
• 通过顶点删除($G \to G-v$)的递归分解与归纳法证明主定理，利用关于乘性函数与除数和的引理。
• 应用容斥原理，通过在具有$i$条边的图上求和$B_{k,i} = \sum_{|E|=i} A_G$，计算k个整数中恰好或至少有$r$对互素的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定图$G$，k个正整数G-互素的自然密度是多少？
• RQ2 当整数还需与固定整数$u_i$互素时，G-互素概率如何变化？
• RQ3 k个随机正整数中恰好有$r$对互素的概率是多少？
• RQ4 k个正整数中两两均不互素的概率是多少？
• RQ5 图中独立集的计数如何影响G-互素k元组的密度？

主要发现

• k个正整数G-互素的自然密度$A_G$由欧拉乘积给出：$A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$，其中$i_m(G)$为图G中大小为$m$的独立集数量。
• 当$u_i = 1$时，k个整数G-互素的概率为$A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$，该结果推广了$k=2$时的经典结果$6/\pi^2$。
• 三个正整数两两均不互素的概率为$A_{3,=0} = 1 - 3A_{3,1} + 3A_{3,2} - A_{3,3}$，其中$A_{3,1} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)$，$A_{3,2} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)\left(1 + \left(1 - \frac{1}{p}\right)\frac{1}{p}\right)$，$A_{3,3} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \left(1 - \frac{2}{p}\right)$。
• 对于四个整数，恰好有$r$对互素的概率通过容斥原理计算：$A_{4,=0} = 1 - 6A_{4,1} + 12A_{4,2,1} + 3A_{4,2,2} - 4A_{4,3,1} - 16A_{4,3,2} + 15A_{4,4} - 6A_{4,5} + A_{4,6}$，其中每个$A_{4,i,j}$均有显式表达式。
• G-互素且与$u_i$互素的k元组渐近计数$Q_G^{(u)}(n)$满足$Q_G^{(u)}(n) = A_G f_G(u) n^k + O(\theta(u) n^{k-1} \log^{k-1} n)$，其中$\theta(u)$为$u_i$中平方自由因子的最大数量。
• 该方法成功计算了四个整数两两均不互素的概率，系统性地恢复并扩展了Freiberg的结果。