[论文解读] Paley type group schemes from cyclotomic classes and Arasu-Dillon-Player difference sets

Yu Qing Chen, Tao Feng|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过分圆类和Arasu-Dillon-Player差集，利用乘法特征和Singer型差集，提出了一种在有限域中构造阿贝尔Paley型群构型的新方法。主要贡献是在$\mathbb{F}_{3^5}$中发现了14个新的伽罗瓦不变Paley型群构型，在$\mathbb{F}_{3^7}$中至少发现18个，且其构型与以往已知构造不构同构。

ABSTRACT

In this paper, we present constructions of abelian Paley type group schemes by using multiplicative characters of finite fields and Arasu-Dillon-Player difference sets. The constructions produce many new Paley type group schemes that were previous unknown in our classification of Paley type group schemes in finite fields of small orders.

研究动机与目标

• 通过分圆类和差集，在有限域中构造超越已知方法的Paley型群构型。
• 通过全面的计算机搜索，对小有限域中的非等价Paley型群构型进行分类与识别。
• 在奇数次扩张$\mathbb{F}_{q^l}$中，利用Singer差集和Arasu-Dillon-Player差集扩展现有构造。
• 确定与这些构型相关的自同构群和同构类型。
• 建立一种通用构造方法，通过商群中差集的并与交，生成新的Paley型群构型。

提出的方法

• 作者利用有限域的乘法特征，通过群环$\mathbb{Z}[G]$中的形式和来分析与构造Paley型群构型。
• 在$\mathbb{Z}[G]$中应用等式$(1 + 2\mathbb{D}^{(-1)})(1 + 2\mathbb{D}) = |G| + (|G| - 1)G$来定义Paley型群构型。
• 该构造依赖于$\mathbb{F}_{q^l}^* / \mathbb{F}_q^*$中的分圆类$S^{(k)}_{q^l/q}$和Arasu-Dillon-Player差集$A_{q^l/q}(m)$。
• 他们使用MAGMA在阶数$\leq 240$的有限域中进行全面搜索，对构型的同构性进行分类。
• 理论结果如定理1.2和定理4.2建立了在乘法商群的子集$X$下，$\mathbb{D}(X)$形成Paley型群构型的条件。
• 关键技术是利用恒等式：若$\mathbb{D}(X_1)$和$\mathbb{D}(X_2)$均为Paley型群构型且$X_1 \cap X_2 = \emptyset$，则$\mathbb{D}(X_1 \cup X_2)$也是Paley型群构型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限域中，通过分圆类和Arasu-Dillon-Player差集，构造出超越已知方法的Paley型群构型？
• RQ2 在$\mathbb{F}_{3^5}$和$\mathbb{F}_{3^7}$中，存在多少个非等价的Paley型群构型，且其构型不构同构于已知构型？
• RQ3 在$\mathbb{F}_{q^l}$中，对于奇数$l$，是否存在新的伽罗瓦不变Paley型群构型，其不等价于Paley群构型或先前构造的构型？
• RQ4 $\mathfrak{C}(\mathbb{D}(S^{(2)}_{5^3/5}))$的自同构群是什么？
• RQ5 在商群$\mathbb{F}_{q^l}^* / \mathbb{F}_q^*$中，两个Paley型群构型的并或交是否仍能产生另一个Paley型群构型？

主要发现

• 在$\mathbb{F}_{3^5}$中，识别出10个非等价的Paley型群构型，其构型不构同构，包括$\mathbb{D}(S^{(2)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(4)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(5)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(10)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(20)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(40)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(4))$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(5))$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(10))$和$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(20))$。
• $\mathfrak{C}(\mathbb{D}(S^{(2)}_{5^3/5}))$的自同构群阶为$2^3 \cdot 3 \cdot 5^3$，证实其具有非平凡对称性。
• 在$\mathbb{F}_{3^5}$中，交集$S^{(5)}_{3^5/3} \cap A_{3^5/3}(5)$产生了一个新的Paley型群构型，其构型不构同构于此前发现的13种构型。
• 在$\mathbb{F}_{7^3}$中，$\mathbb{D}(S^{(2)}_{7^3/7})$和$\mathbb{D}(S^{(-1)}_{7^3/7})$分别产生两个不构同构的构型，每个的自同构群阶均为$3^2 \cdot 7^3$。
• 在$\mathbb{F}_{3^7}$中，发现了14个非等价的Paley型群构型，其构型不构同构，包括$\mathbb{D}(S^{(2)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(4)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(5)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(10)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(14)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(28)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(182)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(364)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(4))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(5))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(10))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(14))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(28))$和$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(182))$。
• 在$\mathbb{F}_{3^7}$中的14个构型均不与$\mathrm{DY}(\pm1)$或$\mathrm{RT}(\pm1)$同构，表明在$\mathbb{F}_{3^7}$中存在至少18个伽罗瓦不变的Paley型群构型，超越Paley群构型。