[论文解读] Palindromic discontinuous Galerkin method for kinetic equations with stiff relaxation

David Coulette, Emmanuel Franck+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对具有刚性弛豫项的kinetic方程的高阶、渐近保持性Palindromic不连续伽辽金格子玻尔兹曼方法。该方法结合隐式迎风DG空间离散化与回文时间积分，实现了高达六阶的精度，具备在高CFL数下的稳定性以及在小弛豫时间下的鲁棒性，在包括 $\tau > 0$ 的Riemann问题在内的挑战性算例中表现出最优收敛率与稳定性。该方法保持了渐近保持性，并通过三角形线性系统实现高效、低存储计算。

ABSTRACT

We present a high order scheme for approximating kinetic equations with stiff relaxation. The objective is to provide efficient methods for solving the underlying system of conservation laws. The construction is based on several ingredients: (i) a high order implicit upwind Discontinuous Galerkin approximation of the kinetic equations with easy-to-solve triangular linear systems; (ii) a second order asymptotic-preserving time integration based on symmetry arguments; (iii) a palindromic composition of the second order method for achieving higher orders in time. The method is then tested at orders 2, 4 and 6. It is asymptotic-preserving with respect to the stiff relaxation and accepts high CFL numbers.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有刚性弛豫项的kinetic方程的高阶数值格式，即使在高CFL数下也能保持稳定性和精度。
• 通过引入具有三角形线性系统的隐式迎风不连续伽辽金（DG）空间离散化，克服显式格式和标准LBM的局限性。
• 通过对对称二阶时间积分器进行回文组合，实现高阶时间精度，确保在 $\tau \to 0$ 时保持渐近保持性。
• 测试该方法在刚性弛豫区域（包括粘性与接触间断问题）下的鲁棒性与收敛性。
• 实现适用于并行与混合架构的高效、低存储计算，且具备向更高维度扩展的潜力。

提出的方法

• 该方法采用隐式迎风DG空间离散化，其生成的线性系统为三角形，可显式求解，从而实现高CFL数与稳定性。
• 基于对称性论证，构建一个二阶、对称的时间积分器，以在 $\tau \to 0$ 的极限下保持渐近行为。
• 通过将二阶格式进行回文组合，实现时间上的高阶精度，使用Suzuki与Kahan-Li格式在四阶与六阶下进行了测试。
• 该kinetic模型基于Graile的矢量格子玻尔兹曼方法，包含 $2m$ 个离散速度 $v_i = \pm\lambda$，并定义平衡分布以恢复保守变量 $w$ 与通量 $q(w)$。
• 该格式具有渐近保持性：当 $\tau \to 0$ 时，解收敛至原始双曲守恒律系统。
• 在1D Riemann问题与粘性测试算例上进行了数值测试，对二阶、四阶与六阶格式进行了收敛性研究，并对 $\tau > 0$ 情况下进行了稳定性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐式DG方法结合迎风数值通量是否可在具有刚性弛豫项的kinetic方程中实现高阶精度与高CFL数下的稳定性？
• RQ2 对称二阶时间积分器的回文组合是否能保持小弛豫时间 $\tau$ 下的渐近保持性？
• RQ3 当 $\tau \approx \Delta t$ 或 $\tau < \Delta t$ 时，复步长格式与实步长格式在稳定性与精度上的表现如何比较？
• RQ4 在高CFL条件与刚性弛豫下，该方法在四阶与六阶时的收敛行为如何？
• RQ5 该方法是否能在 $\tau > 0$ 的粘性测试算例中保持精度与稳定性，特别是在标准格式失效的临界值附近？

主要发现

• 在CFL数为100的低马赫数测试算例中，该方法在空间上实现了四阶与六阶的最优收敛率，Suzuki四阶与Kahan-Li六阶格式表现出预期的收敛行为。
• 在高CFL数（$\beta = 100$）下，复步长格式变得不稳定，而回文格式仍保持稳定与高精度。
• 当 $\tau = 0.000519$ 时，六阶Kahan-Li格式因奇异性条件（$2\tau + \gamma_2\Delta t/2 = 0$）而失效，但复步长格式保持稳定，并在 $N_x=100$ 与 $N_x=1000$ 网格上产生的结果与参考解无法区分。
• 该方法保持渐近保持性：当 $\tau \to 0$ 时，解收敛至原始双曲守恒律系统，且当 $\tau > 0$ 时，弛豫项表现如粘性项，与Chapman-Enskog理论一致。
• 隐式DG求解器生成三角形线性系统，可通过前向代入高效求解，从而实现低存储实现与高效率。
• 该方法在 $\tau > 0$ 条件下具有鲁棒性，复步长格式可在中等CFL数下突破 $2\tau + \Delta t$ 的稳定性屏障，表明其在刚性区域具有更广泛的应用潜力。